intégrales

Romu1 · June 2007

Bonjour, voilà mon problème:

Soient $f$, $g$ deux fonctions continues par morceaux dans $[a,b]$.
Montrer que
$\int_a^b f(x)g(x)dx \geq [\int_a^b f(x)dx] [\int_a^b g(x)dx]$.

Merci pour votre aide.

Aleg · June 2007

cette inéaglité est fausse en général : prendre $f(x)=g(x)=1$ sur $[a;b]=[0;2]$ par exemple.

alalsese · June 2007

Il manque un truc là pasque que c'est faux.

Supposons que ca soit vrai alors on a :

$\int_a^b f(x)g(x)dx \geq [\int_a^b f(x)dx] [\int_a^b g(x)dx]$
et
$-\int_a^b f(x)g(x)dx = \int_a^b f(x)(-g(x))dx \geq [\int_a^b f(x)dx] [\int_a^b (-g(x))dx] = -[\int_a^b f(x)dx] [\int_a^b g(x)dx]$

Donc

$\int_a^b f(x)g(x)dx = [\int_a^b f(x)dx] [\int_a^b g(x)dx]$
Je pense que si c'était vrai ca se saurait ...

Bonne journée !

Archimède · June 2007

De plus elle ne reste pas vraie si l'on change $f$ en $-f$...

[La case LaTeX

AD]

Romu1 · June 2007

pardon en fait c est l'autre inégalié que je voulais dire bien sûr:

$\int_a^b f(x)g(x)dx \leq [\int_a^b f(x)dx] [\int_a^b g(x)dx]$.

Ma~ · June 2007

C'est également faux.

alekk · June 2007

y a une inegalite qui ressemble un peu a cela (Tchebychev), mais il faut rajouter des hypotheses de monotonie sur les fonctions, et rajouter quelques constantes. Est ce cela dont tu parles?

bizar1 · June 2007

contre exemple:
prendre f(x) = g(x) = 1
on obtient (b - a) = (b - a) ^ 2
prend a = 0 et b = 1/10 par exemple tu obtiens
1/10 < 1/100!!!
c'est faux non?
je crois que oui , relis ton énoncé et reviens chercher de l'aide si tu rencontres des difficultés...

amicalement :P

alalsese1 · June 2007

Ma démo est toujours valable en inversant les inégalité ! lol
La troisieme tentative sera-t-elle la bonne ?

TheBridge · June 2007

Je pense que notre ami veut parler de Cauchy-Schwartz i.e. :

$\int_a^b f(x)g(x)dx \leq {[\int_a^b f(x)^2dx]}^{1/2} {[\int_a^b g(x)^2dx]}^{1/2}$.

Reste à savoir quelles sont les conditions dont on dispose

Romu1 · June 2007

Non, lol, en fait cette équation est un peu effacé dans mon bouquin, mais je pense qu il s agit en fait de

$\int_a^b f(x)g(x)dx \neq {[\int_a^b f(x)^2dx]}^{1/2} {[\int_a^b g(x)^2dx]}^{1/2}$, en général.

Du coup j'ai compris, vu que vous avez traité les questions inférieur et supérieur.

Aleg · June 2007

Encore une question qui se métamorphose au fil des heures, à tel point que son auteur, un peu gêné tout de même, invente vraiment n'importe quoi pour expliquer que finalement, ça n'a rien à voir avec ce qu'il avait écrit au début...
Bref, un beau, un vrai f***age de gu**le...

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