Dans un repère orthonormé, les courbes de $f$ et de $f^{-1}$ sont symétriques par rapport à l'axe d'équation $y=x$.
Pour un point $(t,x)$ de $C_f$, la pente de la tangente en ce point est $f'(t)$ (qu'on supposera ici non nul).
Pour le point correspondant $(x,t)$ de $C_{f^{-1}}$, elle est $(f^{-1})'(x)$.
Comme ces deux tangentes sont elles aussi symétriques, on "voit" donc facilement la formule $(f^{-1})'(x)=\frac{1}{f'(t)}$ (où $x=f(t)$), mais ça ne démontre rien.
Dans le cas où $f(t)=\ln t$, on a donc $(f^{-1})'(x)=t=f^{-1}(x)$, ce qui répond à ta question.
C'est peut-être cela que tu appelais "démontrer géométriquement" ? Attention, c'est juste un constat graphique : ça peut aider à retrouver la dite formule (où à l'interpréter géométriquement) mais en aucun cas ça ne constitue une démonstration.
Réponses
Que veux-tu dire par géométriquement ?
Dans un repère orthonormé, les courbes de $f$ et de $f^{-1}$ sont symétriques par rapport à l'axe d'équation $y=x$.
Pour un point $(t,x)$ de $C_f$, la pente de la tangente en ce point est $f'(t)$ (qu'on supposera ici non nul).
Pour le point correspondant $(x,t)$ de $C_{f^{-1}}$, elle est $(f^{-1})'(x)$.
Comme ces deux tangentes sont elles aussi symétriques, on "voit" donc facilement la formule $(f^{-1})'(x)=\frac{1}{f'(t)}$ (où $x=f(t)$), mais ça ne démontre rien.
Dans le cas où $f(t)=\ln t$, on a donc $(f^{-1})'(x)=t=f^{-1}(x)$, ce qui répond à ta question.
C'est peut-être cela que tu appelais "démontrer géométriquement" ? Attention, c'est juste un constat graphique : ça peut aider à retrouver la dite formule (où à l'interpréter géométriquement) mais en aucun cas ça ne constitue une démonstration.
bien sûr le dessin n'est pas une démonstration!
encore merci!!!
il s'agit d'une démonstration non ? puisque deux droites symétriques par rapport à la droite "y=x" ont des coefficients directeurs inverses.