Fonction borélienne - fonction Riemann intégrable

cuty · July 2007

Bonjour,

J' ai une question simple, une fonction intégrable au sens de Riemann est-elle automatiquement borélienne?

oliver-stone2 · July 2007

Salut cuty!
La réponse est non: il existe (moyennant l'axiome du choix) des fonctions Riemann intégrables qui ne sont pas mesurable.
Par contre, si tu considères la tribu des boréliens complété pour la mesure de Lebesgue (=tribu de Lebesgue) alors on a bien Riemann-intégrable implique Lebesgue-intégrable.
Tout ça est très bien expliqué dans "Théorie de l'Intégration" de Briane et Pagès.
Ciao!

corentin · July 2007

On a même un joli théorème qui résume tout ça : une fonction est Riemann intégrable ssi elle est continue sauf sur un ensemble de mesure nulle, en ce cas les intégrales au sens de Lebesgue et Riemann sont égales (non trivial).
Je crois que ça n'est pas dans Briane et Pagès, en tout cas tu peux le trouver dans Wheeden et Zygmund.

oliver-stone2 · July 2007

Salut corentin.
Je ne suis pas d'accord avec "dans ce cas les intégrales au sens de L. er R. sont égales".

En effet,une fonction peut être continue en dehors d'un "négligeable" sans pour autant être borélienne.
Son intégrale au sens de Lebesgue n'est donc pas définie.

Rq: on trouve aussi le théorème que tu cites dans Briane & Pagès, en exercice du chapitre de rappel.

Pour finir, si on se place sur la tribu de Lebesgue, ton théorème devient vrai.
Je pinaille peut-être un peu...

Bonne aprem ciao!

corentin · July 2007

Ben, vu que tu venais de dire que la fonction n'était pas nécessairement borélienne, mais que ça marchait quand même si on complétait la tribu, je me plaçait implicitement dans le cas où on a complété la mesure de Lebesgue.
De toute façon, quand on parle d'intégrale de Lebesgue, on se place pas toujours sur des tribus complètes? (vu que compléter la tribu dans le cas général doit faire juste une page)