dérivée de fonctions complexes

Réponses

• nicolas.patrois

  September 2007

  Elle n’existe pas.

  Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
          -- Schnoebelen, Philippe
  
• Utilisateur anonyme

  September 2007

  Peux tu m'expliquer pourquoi. Merci par avance.
• christophe c

  September 2007

  Il y a des chances pour qu'il te donne une référence bibliographique. Les "connaissances" (par coeur) des gens qui ont fait un peu d'holomorphisme permettent de "raisonner" comme suit:
  
  1) au voisinnage d'un point dont la dérivée est non nulle, une fonction holomorphe est surjective sur un petit ouvert.
  
  2) Dans ton exemple, ce n'est pas le cas. L'image de ta fonction ne contient pas un seul ouvert, puisqu'elle ne contient que des points d'ordonnée zéro
  
  3) Donc ta fonction a une dérivée nulle partout.
  
  4) Donc...
  
  A priori, tout ce que j'ai affirmé sans le justifier ci-dessus, tu peux le retrouver avec beaucoup moins que la théorie habituelle des fonctions holomorphes... La notion de "différentielle" et ce qui la concerne devrait te suffir

  Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
• le barbant raseur

  September 2007

  je sais qu'en appelant z=x+iy on a : arg z = arctan (y/x)

  
  D'abord ça n'est pas vrai.
  Cela n'est vrai que si x+iy appartient à une partie convenable de C.
  
  Mais justement, placons-nous sur une telle partie. Les équations de Cauchy-Riemann n'y sont pas vérifiées par ta fonction, qui n'est donc pas holomorphe. Avec une référence bibliographique (pages 6 et 7) pour faire plaisir à Christophe.
  
  
  Cela dit, la réponse que je viens de te faire est surtout pertinente si tu te places sur l'ouvert C\R- (ou un ouvert plus petit, ou un ouvert du même genre). Car si tu te places sur C* comme tu le proposes, ta fonction n'est même pas continue !!!
• Utilisateur anonyme

  September 2007

  salut le barbu rasé. Effectivement ce que j ai dit n est pas bien précis et faux. Merci pour ces conseils. Je suis certifié mais je n ai jamais eu à étudier ce genre de problème n ayant pas fait de licence. Tout ceci est pour aider mon frère qui entre en école d'ingénieur.
  Je regarderai tes références.
  
  Merci à tous!
• egoroff

  September 2007

  On peut voir la non-dérivabilité de manière plus élémentaire : si $f(z)=\mathrm{arg}(z)$ était dérivable en un certain $z \in \C^*$, de dérivée $a$, on aurait pour toute courbe $\gamma(t)$ de classe $C^1$ de $[-1,1]$ dans $\C$ telle que $\gamma(0)=z$ on a $(f \circ \gamma)'(0)=a\gamma'(0)$. En regardant ce que donnent les courbes radiales $\gamma_1(t)=(1+t)z$ et angulaire $\gamma_2(t)=e^{it}z$, on obtient pour $t$ suffisamment petit : $f \circ \gamma_1 (t)=f(z)$ (argument constant) et $f \circ \gamma_2(t)=f(z)+t$ (argument variable), les dérivées en $0$ sont :
  - $\gamma_1'(0)=z$ ;
  - $\gamma_2'(0)=iz$ ;
  - $(f \circ \gamma_1)'(0)=0$ ;
  - $(f \circ \gamma_2)'(0)=1$.
  Ce qui contredit $(f \circ \gamma_1)'(0)=a\gamma_1'(0)$ et $(f \circ \gamma_2)'(0)=a\gamma_2'(0)$.