calcul d'une intégrale
Bonjour, le sujet qui est bien embêtant et qu'on ne retient qu'en se forçant :
Je voudrais juste qu'on me redonne les grandes lignes du calcul de
$$ \int_0^{+\infty} \frac{e^{-ax}- e^{-bx}}{x}\,\mathrm dx$$ avec $a > 0,\ b > 0,\ a \neq b$.
J'ai perdu la feuille qui en parlait...
[En LaTeX, c'est plus attractif AD]
Je voudrais juste qu'on me redonne les grandes lignes du calcul de
$$ \int_0^{+\infty} \frac{e^{-ax}- e^{-bx}}{x}\,\mathrm dx$$ avec $a > 0,\ b > 0,\ a \neq b$.
J'ai perdu la feuille qui en parlait...
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Réponses
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Calcule l'intégrale de 0 à X, puis fais tendre X vers l'infini.
Bien sûr, il faut connaître primitives/dérivées des fonctions usuelles. -
je ne pense pas que le conseil d'aléa suffise...A demon wind propelled me east of the sun
-
Bonsoir,
cherche Intégrale de Frullani et tu trouveras ton bonheur !
Gégé -
bonsoir
il faut en effet utiliser l'intégrale de Fulliani
intégrale de 0 à l'infini de [f(ax)-f(bx)].dx/x = ln(a/b) (à un signe près)
cordialement -
Cela se fait aussi de façon élémentaire:
Une primitive de la fonction $\frac{e^{-bx}-e^{-ax}}{x}$. est la fonction $F(x)=\int_{ax}^{bx} \frac{e^{-u}}{u}\,du$.
On vérifie que:
$$F(x)=\ln(\frac{b}{a})+\int_{ax}^{bx}
\dfrac{e^{-u}-1}{u}\,du$$
Le résultat en découle facilement.
NivuNiconnu -
Bonsoir SXB,
Comme l'a dit Gégé, ça s'appelle une intégrale de Frullani. On a déjà parlé de ça sur le forum (faire une recherche avec le mot-clef Frullani), mais je redonne ce que j'avais déjà posté à ce sujet : voir exemple 16.55 (26ème page) du poly ci-joint.
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Il suffit d'utiliser le théorème de dérivation sur les intégrales impropres, on obtient donc F' facilement et on conclut par simple primitivation.
Salut -
gilles benson Écrivait:
> je ne pense pas que le conseil d'aléa suffise...
Oh là, oui, mea culpa : je n'avais pas vu le "/x" ! Toutes mes excuses. -
Et si on généralisait le résultat de Frullani \lien {http://www.pubmedcentral.nih.gov/picrender.fcgi?artid=1063092&blobtype=pdf} ?
Borde. -
Bien vu Borde ! Et merci pour cet excellent article que je ne connaissais pas.
-
De rien, Aleg ! Je pense que ce forum est justement fait pour ça, s'échanger les uns les autres des papiers intéressants.
A +
Borde. -
Oui, je suis d'accord avec toi, incognito. Je me souvenais du résultat, et d'une intégrale dont les bornes tendaient vers O par contre le changement de variable dans les deux intégrales séparées qui permet d'obtenir ton résultat par soustraction de l'une à l'autre (un changement par intégrale), je ne m'en souvenais plus bien car je croyais qu'il ne fallait le faire que dans une seul. Merci à toi aussi Aleg pour ta généralisation.
Merci à tous pour vos réponses.
P.S.: y'a un truc bizarre sur la 27 ème page du PDF lol on dirait que c'est effacé. -
Salut SXB,
je t'ai refait un petit document de deux pages qui reprend mon poly :
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Bonjour!
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