Théorème des classes monotones

naos · October 2007

Bonjour

Dans mon cours d'intégration de la fac, on commence quasiment aussitôt par énoncer et démontrer le théorème des classes monotones. Mais il est très abstrait !

A quoi sert-il ? Pourriez-vous me donner un exemple d'application ?

D'autre part, la démonstration est celle qui est dans le poly de JF Le Gall : \lien{http://www.dma.ens.fr/\~{}legall/IPPA2.pdf} page 15

Mais pourquoi définit-il $M_1$ et $M_2$ comme cela ? D'où lui vient l'idée ? Je sais qu'il n'y a qu'à montrer que la classe monotone est stable par intersection dénombrable pour conclure, mais ce n'est pas pour autant que je procèderais comme ça ! Ces objets me semblent un peu sorti d'un chapeau avec pour seul raison d'être "parce que ça marche"... Une explication ?

Merci
Cordialement

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Teg · October 2007

Bonjour,
pour moi, l'idée c'est de "grossir" $C$ en gardant la stabilité par intersections finies.
On veut in fine montrer que pour tout $B$ dans $M(C)$, on a $M_2$ = $M(C)$ (ça c'est vérifier que $M(C)$ est une tribu).
Bon, on peut vérifier que le $M_2$ défini ici est une classe monotone, incluse dans $M(C)$. Il faut donc vérifier l'inclusion réciproque. il lui suffit de vérifier que $C$ est inclus dans $M_2$, car alors $M(C)$ est dans $M(M_2) = M_2$.
Cela revient à montrer que $M(C)$ est dans $M_1$ pour tout $A$ dans $C$ ...

J'espère que c'est clair (et correct!),
Teg

Romu1 · October 2007

Bonsoir,

Dans mon cours d'intégration de la fac, on commence quasiment aussitôt par énoncer et démontrer le théorème des classes monotones. Mais il est très abstrait !

A quoi sert-il ? Pourriez-vous me donner un exemple d'application ?

Si tu regardes à la page 16 du pdf de JF LeGall, tu vois le corollaire 1.4.2 qui est intéressant et qui résulte du lemme des classes monotones.

Comme dit l'auteur en bas de la page, on a déjà pour conséquence de ce corollaire l'unicité de la mesure de Lebesgue.

TheBridge · October 2007

En proba et théorie des processus stochastiques, un nombre incalculable de propriétés et théorèmes utilise ce théorème dans leur démonstration(ou bien sa version fonctionnelle).

Il est donc très important.

pioupiou · October 2007

Il y a deux versions du theoreme des classes monotones : celle "ensembliste" que tu cites, et celle "fonctionnelle" (consulte le poly de M1 de l'universite P6, disponible sur le ouaibe, debut du chapitre 1). Cette version fonctionnelle [qui se demontre a partir de la version ensembliste] permet par exemple de demontrer que les fonctions " f mesurables " sont les fonctions du type g(f).

C'est cool, non ? (tu)

Romu1 · October 2007

Pioupiou, le théorème dont tu parles, c'est le théorème de convergence monotone?

naos · October 2007

Teg > c'est pas de la première évidence ce raisonnement ! Mais je crois avoir compris.

TheBridge, tu pourrais donner un exemple de résultat découlant de ce théorème ?

Merci à vous

pioupiou · October 2007

Pioupiou, le théorème dont tu parles, c'est le théorème de convergence monotone?

Pas du tout ::o

C'est le theoreme suivant :

" Soit X un ensemble, C une partie de P(X) stable par intersection finie.
Soit H un espace vectoriel de fonctions reelles bornees sur X. On suppose :
- H contient les indicatrices d'elements de C, et celle de X.
- si une suite de fonctions positives de H, croit vers une fonction f bornee, alors f appartient a H.
Alors H contient les fonctions sigma(C)-mesurables bornees. "

aléa · October 2007

Je suis désolé de rompre cette belle unanimité, mais je ne considère pas que la compréhension du théorème des classes monotones soit une priorité quand on est en L3. Bien sûr, c'est super utile à la construction de la théorie de la mesure, bien sûr c'est le pain quotidien de ceux qui font un M2 ou une thèse en théorie des processus, mais tout ça est très relatif à des situations particulières.
Depuis 10 ans, j'ai dû utiliser ce théorème une fois, et encore c'était dans mon cours de L3.
Donc, si tu arrives à comprendre et utiliser ce théorème, c'est très bien, mais il y a à mon avis (*) des choses plus importantes à maîtriser que ce théorème qui demeure un outil (tellement un outil que dans les bouquins ou les articles de recherche, son usage se limite à écrire "par un argument de classes monotones", sans détailler plus).

(*) c'est bien MON avis, si ton prof est un amoureux des classes monotones, fais gaffe...