fonction analytique

Je pense que oui, c'est une conséquence de Phragmén-Lindelöf. Voici une preuve inspirée d'une démonstration d'un livre de Titchmarsh :

Par hypothèse, on a :

$\forall \varepsilon >0$, $\exists R:=R(\varepsilon) >0$, $r > R \Rightarrow |f(re^{i \theta})| < \varepsilon$ (où il est sous-entendu ici un argument tel que $r e^{i \theta}$ reste sur l'une des droites $x=0$ ou $x=1$).

Soit $t>0$ un paramètre réel et on considère la fonction : $$g(z) = \frac {z}{z+t} f(z).$$

Pour $z = re^{i \theta}$, on a : $$|g(z)| < \frac {r}{\sqrt {r^2 + t^2}} |f(z)| < \frac {r}{t} |f(z)| \leqslant \frac {rM}{t},$$ où $M$ est un majorant de $|f(z)|$ dans la région considérée.

On a alors :

(i) 1er cas : $r \leqslant R$. On choisit $t = \dfrac {RM}{\varepsilon}$ et il vient d'après ci-dessus : $$|g(z)| < \varepsilon$$ pour $z$ sur l'une des droites $x=0$ ou $x=1$.

(ii) 2nd cas : $r > R$. On a alors trivialement $|g(z)| < |f(z)| < \varepsilon$ pour $z$ sur l'une des droites $x=0$ ou $x=1$.

Ainsi, pour tout $z$ sur l'une des droites $x=0$ ou $x=1$, on a $|g(z)| < \varepsilon$. Le théorème de Phragmén-Lindelöf implique alors que $|g(z)| \leqslant \varepsilon$ dans toute la bande, puis : $$|f(z)| \leqslant \left (1 + \frac {t}{r} \right )|g(z)| < 2 \varepsilon$$ dès que $r > t$.


On pourrait se demander à quoi sert l'introduction de $g$. Elle a permis une majoration en $< \varepsilon$ pour des $z$ de petits modules, ce que l'on n'avait a priori avec $f$.

Qu'en penses-tu ?


Borde.

Merci à Gilles B pour avoir donné la référence du Titchmarsh que j'avais oublié de mettre, car trop obnubilé à répondre à la question posée.

A titre informatif et puisque j'ai repris la main, voici une des formes effectives du théorème de Phragmén-Lindelöf que l'on utilise souvent en théorie analytique des nombres, et qui peut sans nul doute servir à tout analyticien qui se respecte :


{\it Soit $f$ continue bornée sur la bande $\{ a \leqslant \mathrm{Re}(z) \leqslant b \}$ (avec $a<b$), et analytique sur l'intérieur de cette bande. Si, pour tout réel $y$, on a $|f(a+iy)| \leqslant A$ et $|f(b+iy)| \leqslant B$, alors pour tout $z = x+iy$ appartenant à l'intérieur de la bande, on a} : $$|f(z)| \leqslant \left ( A^{b-x} B^{x-a} \right )^{1/(b-a)}.$$


Cela a un certain lien de parenté avec le lemme des 3 cercles d'Hadamard (il me semble d'ailleurs que certains donnent le nom de "théorème des 3 droites" au théorème de Phragmén-Lindelöf).


Borde.

Merci (n'ayant pas cet ouvrage, je ne l'avais pas "référencé").

Borde.

en fait la référence la plus sympathique en ce qui concerne tout ça semble être:
{\it Functions of one complex variable I de J.B. Conway} chez Springer qui traite tout en détail et qui décrit ensuite la méthode de Phragmén-Lindelöf.

Je souhaite prolonger un peu la vie de cet intéressant sujet (et pas souvent traité sur le forum) en complétant les références données par Gilles B par celles-ci :

{\bf Encyclopedia of Mathematics}, Vol. 7, Kluwer (1988--1997), p.152--153.

{\bf Polya \& Szegö}, {\it Problems and theorems in Analysis} 1, Springer (1972), p. 166-172.

et pourquoi pas :

{\bf Zygmund}, {\it Trigonometric series} Vol. 2 (mais je crois bien que les 2 volumes sont réunis en un seul, à confirmer par Gilles B, JJ ou autre), CUP (1959), p. 93--94.


en TAN, Phragmén-Lindelöf est utilisé pour étudier la fonction notée $\mu := \mu_{\zeta}$ ({\it attention} : il ne s'agit pas de la fonction de Möbius) définie comme suit : soit $F$ une fonction d'ordre fini dans un domaine $\mathcal {D}$ (i.e. $|F(x+iy)| \ll |y|^A$ pour un certain $A > 0$). La fonction $\mu_{F} : x \mapsto \mu_{F}(x)$ est la borne inférieure des réels $a$ tels que $|F(x+iy)| \ll |y|^a$ pour $x+iy \in \mathcal {D}$ et $|y| \geqslant 1$. Lorsque $F=\zeta$ la fonction de Riemann, on omet le $\zeta$ en indice.

Phragmén-Lindelöf implique la convexité (et donc la continuité) de la fonction $\mu_{F}$ dans tout intervalle $[x_1,x_2]$. De plus, si $F$ est une série de Dirichlet, alors $\mu_{F}(x) = 0$ pour tout réel $x > x_a$ où $x_a$ désigne l'abscisse de convergence absolue de $F$, et $\mu_{F}$ est décroissante dans toute région où $F$ est d'ordre fini.

Pour $\zeta$, on a $$\mu(x) = \begin{cases} \frac {1}{2} - x, & \mathrm{si\ } x \leqslant 0, \\ 0, & \mathrm {si\ } x \geqslant 1, \end{cases}$$ mais on ignore la valeur exacte de $\mu(x)$ dans la bande $0 < x < 1$, c'est d'ailleurs l'un des plus profonds problèmes actuels de TAN. {\it L'hypothèse de Lindelöf} consiste à dire qu'elle est constituée de 2 demi-droites reliant les 2 axes (donc $\mu(x) = \max ( \frac {1}{2} - x, \, 0)$) mais on est encore très loin de l'obtention d'un tel résultat. Rappelons que HR implique l'hypothèse de Lindelöf.

{\bf Référence} : {\bf G. Tenenbaum}, {\it Introduction à la théorie analytique et probabiliste des nombres}, SMF, 1995.


En analyse, Thorin a utilisé le principe de Phragmén-Lindelöf pour montrer le {\it théorème de convexité de Riesz}.


Borde.

Salut Gilles,

Je vais répondre presque sérieusement à ta boutade !

Pour le Rademacher, je l'ai lu il y a quelques années, en ai relevé quelques points essentiels (les partitions, notamment, puisqu'il en fut l'un des incontournables), mais ne le possède pas en tant que tel.

Tenenbaum a été mon professeur de TAN voici une dizaine d'années et son livre est une base indispensable à l'arithméticien qui se respecte. Il possède une foultitude de qualités, mais aussi (à mon avis) 2 défauts, me semble-t-il :

(i) Il est destiné à un public de quasi-spécialistes, ce qui sous-entend qu'il faut bien connaître les us et coutumes de la TAN avant de s'y mettre dedans, au risque, sinon, d'un réel découragement (je me souviens au début avoir laissé tomber tel ou tel exo ou démonstration car un passage d'une ligne à l'autre m'était incompréhensible, là où l'auteur signalait ce passage comme "étant clair" ou "trivial"...). Lorsque l'on débute, il vaut mieux commencer par les livres de De Koninck \& Mercier ou celui de Tom Apostol (Springer), d'un abord moins violent.

(ii) Un ouvrage traitant d'autant de sujets à la fois ne peut pas exceller sur {\it tous} les sujets (c'est l'une des raisons pour laquelle j'ai moi-même limité le nombre de sujets dans le mien). Par exemple, je trouve que la méthode de Van der Corput, exposée ici, présente un style, disons, trop académique, alors qu'elle est rendue actuellement pratiquement algorithmique avec les paires d'exposants. D'autre part, je trouve qu'il manque des domaines non traités, comme celui des sommes courtes d'une certaine classe de fonctions multiplicatives.


Mais, au fait, avec ton rappel à Rademacher (dont tu es un fan), tu m'as rappelé l'un de ses papiers sur Phragmén-Lindelöf, papier pas très connu, mais bourré d'idées et de résultats intéressants. Voici l'article :

{\bf H. Rademacher}, {\it On the Phragmén-Lindelöf theorem and some applications}, Math. Z. {\bf 72} (1959), 192--204.

L'auteur y développe des extensions et compléments à Phragmén-Lindelöf, puis les applique sur les fonctions usuelles $\zeta$, $L(s;\chi)$, $\zeta_{\mathbb{K}}$ (avec $\mathbb {K}$ galoisien), fonction zeta de Hecke, ce qui montre au passage l'éclectisme et la très grande variété des connaissances de Rademacher.

Je ne pouvais certainement pas omettre cette référence dans cette discussion !


Borde.

bonsoir Borde, pour te répondre sur les bouquins précédents, je vois simplement que l'édition française de Tenenbaum est épuisée et la traduction en anglais hors de prix; je suis simplement curieux de voir ce qu'il y a dedans; pour Rademacher, je sais pouvoir le trouver en BU mais mon esprit collectionneur ne peut s'en contenter;
je ne renonce pas à le trouver.

ok merci

merci

Salut Borde, merci ! Cela dit mes apparitions resteront certainement très épisodiques...

bruno

On aimerait bien t'accompagner plus souvent Olivier, mais le sujet n'est pas accessible à tout le monde...:)