Racines de module <1

bonjour

on peut en effet trouver une condition (en a et b) pour que ton équation ait deux racines complexes conjuguées de module supérieur à 1, mais cette condition est lourde!

ton équation en posant X = x² avec X > 0 devient:

a.X^3 + b.X + 1 qu'il vaut mieux (si a différent de 0) écrire X^3 + pX + q = 0

pour que cette équation du troisième degré comporte une seule racine réelle r, il faut que son discriminant delta soit positif

soit donc delta = q² + 4p^3/27 > 0 soit encore delta = (27a + 4b^3)/27a^3 > 0

et les racines complexes en X sont -r/2 + ou - (i/2).rac(p - 3q/r) dont le module commun au carré est: (r/2)² + (p - 3q/r)² soit donc

a²r^4 + 4(ab - 3)² > 4a²r² avec

r= rac.cubique(-1+a.rac(delta))/2a) + rac.cubique(-1-a.rac(delta))/2a)

l'inéquation bicarrée en r peut être résolue, il faut que le discriminant soit négatif soit
a²(1-b²) + 6ab - 9 < 0

tu as donc deux contraintes en a et b

cordialement

Pas de souci, Ksilver, je voulais juste une confirmation, c'est tout.

Quant à des conditions portant sur des équations quelconques, je n'en connais personnellement pas, le théorème de Rouché étant l'un des outils les plus utilisés dans ce type de problèmes, mais évidemment au cas par cas.

L'un des spécialistes français de ce domaine est Mignotte, de l'université de Strasbourg, me semble-t-il. Peut-être pourrais-tu lui demander son avis ?

Borde.

Salut Visitor,

Utilise la {\it borne de Montel} : si $P(x) = x^n +a_{n-1} x^{n-1} + \dotsb + a_0$, alors les racines de $P(x)$ sont dans le disque $\displaystyle {|z| \leqslant |a_0| + \sum_{k=0}^{n-1} |a_k - a_{k+1}|}$ (où $a_n = 1$).

Borde.

{\bf PS}. Le résultat de Montel est une conséquence de celui de Cauchy ($\displaystyle {|z| \leqslant 1 + \sum_{k=1}^{n-1} |a_k|}$) que tu connais certainement, appliqué au polynôme $Q(x) = (x-1) P(x)$.

Pourrais-tu donner l'énoncé de ce critère , stp ?

Merci,

Borde.

{\bf PS} Serait-ce cela \lien {http://www.atp.ruhr-uni-bochum.de/rt1/syscontrol/node41.html} ?

bonjour, il existe au moins à ma connaissance une monographie sur le sujet:
{\it The geometry of the zeros of a polynomial in a complex variable de Morris Marden} édité par l'AMS (1949).
Le chapite 7 traite du module des racines et donne les résultats énoncés par borde.
Se trouve sans problème sur ABebooks...