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application du théorème de Baire

Envoyé par ludo' 
application du théorème de Baire
il y a onze années
bonjour,

Dans le tome d'Analyse du Gourdon il est proposé, en application du théorème de Baire, de démontrer la continuité sur un ensemble dense de points de toute fonction définie sur un produit E1xE2 d'espaces métriques complets si les fonctions partielles sont continues.
Je sèche depuis un moment sur cet exercice et toute lumière le concernant sera la bienvenue.

Merci d'avance !



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a onze années et a été effectuée par AD.
asma
Re: application du théorème de Baire
il y a dix années
J'ai cet exo et je bloque :
Soit V un sev de dimension finie d'un evn X
- Montrer que V EST NUL PART DENSE" ie V est d'intérieur vide" ?
Svp aidez-moi



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a dix années et a été effectuée par AD.
Re: application du théorème de Baire
il y a dix années
Je suppose que ton $V$ est un sousè-espace propre (inclusion stricte) de $X$ ou bien que $X$ est de dimension infinie et dans ce cas $V$ est bien un sous-espace propre.

Raisonnons par l'absurde et supposons que $V$ n'est pas d'intérieur vide alors il existe $x$ dans $V$ et $r>0$ tel que
$$B(x,r)\subset V$$
Donc tu as aussi
$$B(0,r)=B(x,r)-x\subset V$$
Enfin tu remarques que $\cup_n B(0,rn)=X$ et $B(0,rn)=nB(0,r)\subset V$. Donc $V=X$, ce qui contredit que $V$ est un sous espace propre de $X$.

Voilou!!

[www.mathsup.ouvaton.org]
Re: application du théorème de Baire
il y a dix années
avatar
Pour résumer la preuve précédente, les arguments essentiels sont:
- un espace vectoriel est stable par translation et par homothétie.
- l'image d'une boule par une translation ou une homothétie est encore une boule.

Si $F$ sous-espace vectoriel strict de $E$ est d'intérieur non vide, il contient une boule de rayon $r$. Par translation, il contient aussi une boule centrée en $0$ de rayon $r$. Maintenant je n'ai plus qu'à dilater cette boule (qui est toujours dans $F$) suffisament de sorte qu'elle englobe un vecteur $x$ de $E$ qui n'est pas dans $F$, d'où la contradiction.


Ainsi un sev strict d'un ev $E$ de dimension finie est une partie fermée d'intérieur vide de $Ê$. C'est une partie négligeable (au sens topologique de Baire) ou maigre de $E$. Le théorème de Baire assure d'ailleurs que dans un espace métrique complet une réunion dénombrable de parties fermées d'intérieur vide est encore d'intérieur vide.
asma
Re: application du théorème de Baire
il y a dix années
Merci pour ta réponse, la suite de l'exo :soit P l'ev de tt les polynomes reels ,montrer que P n'est pas de Banach? l'idee c montrons que P est de premiere categorie. donc P s'écrit l'union d'ensemble non dense . est ce que je peut ecrire P = l'union de Vn ou Vi un sev?
Re: application du théorème de Baire
il y a dix années
avatar
prendre les pôlynomes de degré inférieur ou égal à n y compris le polynome nul; l'union croissante de ces sous-espaces de dimension finie donne P.
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