application du théorème de Baire

ludo'
ludo'
dans Analyse
bonjour,

Dans le tome d'Analyse du Gourdon il est proposé, en application du théorème de Baire, de démontrer la continuité sur un ensemble dense de points de toute fonction définie sur un produit E1xE2 d'espaces métriques complets si les fonctions partielles sont continues.
Je sèche depuis un moment sur cet exercice et toute lumière le concernant sera la bienvenue.

Merci d'avance !

Réponses

  • asma2
    asma2
    J'ai cet exo et je bloque :
    Soit V un sev de dimension finie d'un evn X
    - Montrer que V EST NUL PART DENSE" ie V est d'intérieur vide" ?
    Svp aidez-moi
  • math_sup_ambition
    math_sup_ambition
    Je suppose que ton $V$ est un sousè-espace propre (inclusion stricte) de $X$ ou bien que $X$ est de dimension infinie et dans ce cas $V$ est bien un sous-espace propre.

    Raisonnons par l'absurde et supposons que $V$ n'est pas d'intérieur vide alors il existe $x$ dans $V$ et $r>0$ tel que
    $$B(x,r)\subset V$$
    Donc tu as aussi
    $$B(0,r)=B(x,r)-x\subset V$$
    Enfin tu remarques que $\cup_n B(0,rn)=X$ et $B(0,rn)=nB(0,r)\subset V$. Donc $V=X$, ce qui contredit que $V$ est un sous espace propre de $X$.

    Voilou!!

    http://www.mathsup.ouvaton.org
  • adsj
    adsj
    Pour résumer la preuve précédente, les arguments essentiels sont:
    - un espace vectoriel est stable par translation et par homothétie.
    - l'image d'une boule par une translation ou une homothétie est encore une boule.

    Si $F$ sous-espace vectoriel strict de $E$ est d'intérieur non vide, il contient une boule de rayon $r$. Par translation, il contient aussi une boule centrée en $0$ de rayon $r$. Maintenant je n'ai plus qu'à dilater cette boule (qui est toujours dans $F$) suffisament de sorte qu'elle englobe un vecteur $x$ de $E$ qui n'est pas dans $F$, d'où la contradiction.


    Ainsi un sev strict d'un ev $E$ de dimension finie est une partie fermée d'intérieur vide de $Ê$. C'est une partie négligeable (au sens topologique de Baire) ou maigre de $E$. Le théorème de Baire assure d'ailleurs que dans un espace métrique complet une réunion dénombrable de parties fermées d'intérieur vide est encore d'intérieur vide.
  • asma2
    asma2
    Merci pour ta réponse, la suite de l'exo :soit P l'ev de tt les polynomes reels ,montrer que P n'est pas de Banach? l'idee c montrons que P est de premiere categorie. donc P s'écrit l'union d'ensemble non dense . est ce que je peut ecrire P = l'union de Vn ou Vi un sev?
  • gilles benson
    gilles benson
    prendre les pôlynomes de degré inférieur ou égal à n y compris le polynome nul; l'union croissante de ces sous-espaces de dimension finie donne P.
    A demon  wind propelled me east of the sun
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