application du théorème de Baire
bonjour,
Dans le tome d'Analyse du Gourdon il est proposé, en application du théorème de Baire, de démontrer la continuité sur un ensemble dense de points de toute fonction définie sur un produit E1xE2 d'espaces métriques complets si les fonctions partielles sont continues.
Je sèche depuis un moment sur cet exercice et toute lumière le concernant sera la bienvenue.
Merci d'avance !
Dans le tome d'Analyse du Gourdon il est proposé, en application du théorème de Baire, de démontrer la continuité sur un ensemble dense de points de toute fonction définie sur un produit E1xE2 d'espaces métriques complets si les fonctions partielles sont continues.
Je sèche depuis un moment sur cet exercice et toute lumière le concernant sera la bienvenue.
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Réponses
Soit V un sev de dimension finie d'un evn X
- Montrer que V EST NUL PART DENSE" ie V est d'intérieur vide" ?
Svp aidez-moi
Raisonnons par l'absurde et supposons que $V$ n'est pas d'intérieur vide alors il existe $x$ dans $V$ et $r>0$ tel que
$$B(x,r)\subset V$$
Donc tu as aussi
$$B(0,r)=B(x,r)-x\subset V$$
Enfin tu remarques que $\cup_n B(0,rn)=X$ et $B(0,rn)=nB(0,r)\subset V$. Donc $V=X$, ce qui contredit que $V$ est un sous espace propre de $X$.
Voilou!!
http://www.mathsup.ouvaton.org
- un espace vectoriel est stable par translation et par homothétie.
- l'image d'une boule par une translation ou une homothétie est encore une boule.
Si $F$ sous-espace vectoriel strict de $E$ est d'intérieur non vide, il contient une boule de rayon $r$. Par translation, il contient aussi une boule centrée en $0$ de rayon $r$. Maintenant je n'ai plus qu'à dilater cette boule (qui est toujours dans $F$) suffisament de sorte qu'elle englobe un vecteur $x$ de $E$ qui n'est pas dans $F$, d'où la contradiction.
Ainsi un sev strict d'un ev $E$ de dimension finie est une partie fermée d'intérieur vide de $Ê$. C'est une partie négligeable (au sens topologique de Baire) ou maigre de $E$. Le théorème de Baire assure d'ailleurs que dans un espace métrique complet une réunion dénombrable de parties fermées d'intérieur vide est encore d'intérieur vide.