Polynômes de Legendre
Bonjour,
Je voudrais montrer :
$$
\int_{-1}^{1} (1-x^2)^k
\frac{d^k}{dx^k}L_n(x)\frac{d^k}{dx^k}L_m(x) dx =
\frac{2(n+k)!}{(n-k)!(2n+1)} \delta_{nm}
$$
ou $L_i$ est le polynôme de Lagrange [Legendre ? AD] de degré $i$
Pour k=1, c est bon:\\
A partir de l'équation différentielle :
\begin{align}
\frac{\text{d}}{\text{d}x} \left[ (1-x^2) \, L_n^{\prime} (x) \right] + n(n+1) \, L_n(x) = 0
\end{align}
et en multipliant par $L_j$ de chaque coté, on obtient:
\begin{align}
\int_{-1}^{1} n(n+1)L_n(x)L_j(x) \mathrm dx &=- \int_{-1}^{1}
((1-x^2)L_n^{\prime}(x))^{\prime} L_j(x) \mathrm dx\\
&=\begin{bmatrix} -(1-x^2)L_n^{\prime}(x)L_j(x)
\end{bmatrix}_{-1}^{1} + \int_{-1}^{1}
(1-x^2)L_n^{\prime}(x) L_j^{\prime}(x)(x) \mathrm dx\\
&=\int_{-1}^{1} (1-x^2)L_n^{\prime}(x) L_j^{\prime}(x)(x) \mathrm dx
\end{align}
et avec la formule \begin{align}
\int_{-1}^{1} P_n(x) P_m(x)\, \mathrm dx \,=\, \frac{2}{2n+1}
\delta_{nm} \forall n,m \in \N_0
\end{align}
On obtient le résultat.
Mais je pour $k>1$ je n'y arrive ni par récursion ni en essayant d'intégrer partiellement.
Merci beaucoup
Je voudrais montrer :
$$
\int_{-1}^{1} (1-x^2)^k
\frac{d^k}{dx^k}L_n(x)\frac{d^k}{dx^k}L_m(x) dx =
\frac{2(n+k)!}{(n-k)!(2n+1)} \delta_{nm}
$$
ou $L_i$ est le polynôme de Lagrange [Legendre ? AD] de degré $i$
Pour k=1, c est bon:\\
A partir de l'équation différentielle :
\begin{align}
\frac{\text{d}}{\text{d}x} \left[ (1-x^2) \, L_n^{\prime} (x) \right] + n(n+1) \, L_n(x) = 0
\end{align}
et en multipliant par $L_j$ de chaque coté, on obtient:
\begin{align}
\int_{-1}^{1} n(n+1)L_n(x)L_j(x) \mathrm dx &=- \int_{-1}^{1}
((1-x^2)L_n^{\prime}(x))^{\prime} L_j(x) \mathrm dx\\
&=\begin{bmatrix} -(1-x^2)L_n^{\prime}(x)L_j(x)
\end{bmatrix}_{-1}^{1} + \int_{-1}^{1}
(1-x^2)L_n^{\prime}(x) L_j^{\prime}(x)(x) \mathrm dx\\
&=\int_{-1}^{1} (1-x^2)L_n^{\prime}(x) L_j^{\prime}(x)(x) \mathrm dx
\end{align}
et avec la formule \begin{align}
\int_{-1}^{1} P_n(x) P_m(x)\, \mathrm dx \,=\, \frac{2}{2n+1}
\delta_{nm} \forall n,m \in \N_0
\end{align}
On obtient le résultat.
Mais je pour $k>1$ je n'y arrive ni par récursion ni en essayant d'intégrer partiellement.
Merci beaucoup
Réponses
-
Pourtant, les deux ensemble, ça doit marcher... Essaie d'intégrer par parties plusieurs fois en épuisant le degré de l'un des deux polynômes, puis ré-intègre par parties, tu devrais aboutir au résultat.
-
Le probleme (a mes yeux) c est que c est un produit de 3 facteurs. Pour faire disparaitre $(1-x^2)^k$ il faut qe je derive partiellement $2k$ fois. Et alors j obtiens:
$\int_{-1}^{1}\frac{d^{2k}}{dx^{2k}}(\frac{d^k}{dx^k}L_n(x)\frac{d^k}{dx^k}L_m(x)) dx$.
Mais je suis pas tres sur de moi.
Et en plus je ne sais pas trop quoi faire apres.
Merci pour votre aide -
A un facteur de normalisation pres, le $n$-polynome de Ledgendre est
$$\frac{1}{n}(1-x^2)^n.$$
Ca doit donner la reponse assez facilement
Joaopa -
En integrant j obtiens :
\begin{align}
\begin{bmatrix}\frac{d^{2k-1}}{dx^{2k-1}}(\frac{d^k}{dx^k}L_n(x)\frac{d^k}{dx^k}L_m(x))
\end{bmatrix}_{-1}^{1} = \begin{bmatrix}\frac{d^{2k-1}}{dx^{2k-1}}(
\frac{n!}{(n-k)!}(1-x^2)^{n-k}
\frac{m!}{(m-k)!}(1-x^2)^{m-k})
\end{bmatrix}_{-1}^{1}
\end{align}
Mais c est un produit, donc je ne peux pas deriver aussi facilement $2k-1$ fois. Deplus, si 2k-1>2(n-k) ce devrait être nul, non?
Est ce que l egualie du precedent message etait juste?
Merci -
M'est avis que Joaopa en a oublié en route http://www.bibmath.net/dico/index.php3?action=affiche&quoi=./l/legendrepoly.html
Amicalement. -
Le polynôme de Legendre satisfait
$$\dfrac{d}{dx} \left[ (1-x^2)L_n'(x) \right] + n(n+1)L_n(x) = 0$$
que je dérive $k$ fois :
$$\dfrac{d^{k+1}}{dx^{k+1}} \left[(1-x^2)L_n'(x) \right] + n(n+1)\dfrac{d^k}{dx^k} L_n(x) = 0,$$
qui fournit, avec la formule de Leibniz
$$(1-x^2)\dfrac{d^{k+2}}{dx^{k+2}}L_n(x) - 2(k+1)x\dfrac{d^{k+1}}{dx^{k+1}}L_n(x) - k(k+1)\dfrac{d^k}{dx^k} L_n(x) + n(n+1)\dfrac{d^k}{dx^k} L_n(x) = 0$$
puis, en multipliant par $(1-x^2)^k$ :
$$\dfrac{d}{dx} \left[(1-x^2)^{k+1}\dfrac{d^{k+1}}{dx^{k+1}} L_n(x)\right] = -(n+1+k)(n-k)(1-x^2)^k\dfrac{d^k}{dx^k} L_n(x),$$
ce qui devrait faciliter l'intégration par parties... -
bonsoir, la formule:
$\displaystyle \newline \int_{-1}^{1} (1-x^2)^k\newline \frac{d^k}{dx^k}L_n(x)\......k}{dx^k}L_m(x) dx =\newline \frac{2(n+k)!}{(n-k)!(2n+1)} \delta_{nm}\newline $
ne devrait-elle pas être symétrique suivant n et m?A demon wind propelled me east of the sun -
>gilles benson
la formule est symétrique à cause du (grâce au) $\delta_{nm}$ qui est nul pour $n \neq m$... -
exactA demon wind propelled me east of the sun
-
Merci!
Encore une question: la formule est elle valable pour tout m n et k?
Je dirais oui, puisque nous ne caluculons plus les derivees, mais pourrait il y avoir un probleme? -
Il faudrait rédiger une preuve détaillée pour faire apparaître d'éventuelles conditions sur les paramètres $m$, $n$, et $k$.
Telle que la formule initiale est écrite, le terme en $(n-k)!$ nécessite $k \leq n$...
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Bonjour!
Catégories
- 163.1K Toutes les catégories
- 7 Collège/Lycée
- 21.8K Algèbre
- 37.1K Analyse
- 6.2K Arithmétique
- 52 Catégories et structures
- 1K Combinatoire et Graphes
- 11 Sciences des données
- 5K Concours et Examens
- 11 CultureMath
- 47 Enseignement à distance
- 2.9K Fondements et Logique
- 10.3K Géométrie
- 62 Géométrie différentielle
- 1.1K Histoire des Mathématiques
- 68 Informatique théorique
- 3.8K LaTeX
- 39K Les-mathématiques
- 3.5K Livres, articles, revues, (...)
- 2.7K Logiciels pour les mathématiques
- 24 Mathématiques et finance
- 312 Mathématiques et Physique
- 4.9K Mathématiques et Société
- 3.3K Pédagogie, enseignement, orientation
- 10K Probabilités, théorie de la mesure
- 772 Shtam
- 4.2K Statistiques
- 3.7K Topologie
- 1.4K Vie du Forum et de ses membres