déplacement dans une couronne.
Bonjour.
On se place dans R² plan euclidien pour la norme usuelle d'indice 2. Soient r et r' deux réels strictement positifs tels que r<r'
Soit A= B(0,r') \ B(0,r).
Soit (x,y) dans A². Donner en fonction de r de r', des normes de x et y et de l'angle (x,y):=@, la distance minimale à parcourir pour aller de x à y via un chemin continu de A :
d = f(r, r', ||x||, ||y||,@).
Merci.
(merci modérateur, au passage le @ est un têta)
On se place dans R² plan euclidien pour la norme usuelle d'indice 2. Soient r et r' deux réels strictement positifs tels que r<r'
Soit A= B(0,r') \ B(0,r).
Soit (x,y) dans A². Donner en fonction de r de r', des normes de x et y et de l'angle (x,y):=@, la distance minimale à parcourir pour aller de x à y via un chemin continu de A :
d = f(r, r', ||x||, ||y||,@).
Merci.
(merci modérateur, au passage le @ est un têta)
Réponses
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Je pars du principe que les boules $B(0,r)$ et $B(0,r')$ sont ouvertes, donc que la couronne $A$ contient le cercle de rayon $r$.
Alors -
Merci gb! J'avais effectivement essayé de tenter un principe de récurrence pour imiter la notion de prédécesseur (j'essayais de m'inspirer de l'algorithme de Bellman) mais évidemment cela n'a pas de sens car il y a un nombre de pts de A est infini!
TU as su placer ces bons pts ou il fallait...
mais ma question est la suivante:
pourquoi un chemin de longueur minimale passerait-il par x' et y'? -
Petit oubli, la formule ne vaut que si le segment [x,y] n'est pas inclus dans la couronne, c'est-à-dire lorsque
$$\Vert x \Vert.\Vert y \Vert.\sin\theta \geq r\sqrt{\Vert x \Vert^2 + \Vert y \Vert^2 - 2\Vert x \Vert.\Vert x \Vert.\cos\theta}$$.
Lorsque le segment est inclus dans la couronne, la distance minimale est bien évidemment $\sqrt{\Vert x \Vert^2 + \Vert y \Vert^2 - 2\Vert x \Vert.\Vert y \Vert.\cos\theta}$. -
Oui, mais ma question est: quand le segment n'est pas inclu dans la couronne, pk un trajet de longueur minimale serait-il de cette forme?
-
essaie de tendre une corde en l'appuyant sur un cylindre...et dans un plan perpendiculaire à l'axe de ce cylindre.A demon wind propelled me east of the sun
-
Heuristiquement : Soit $\gamma(t)$ un chemin continu de $x$ à $y$. Un argument de valeurs intermédiaires sur l'angle $(x,\gamma(t))$ montre que le chemin coupe les droites $Ox'$ et $Oy'$.
Soit $x''$ et $y''$ les intersections respectives avec ces droites, alors l'arc $xx''$ a une longueur supérieure au segment $[xx']$ par projection orthogonale, idem pour l'arc $yy''$ et le segment $[yy'']$.
Dans le secteur angulaire $x'0y'$, l'arc $x''y''$ a une longueur supérieure à l'arc de cercle $x'y'$. -
Réponse à Gilles Benson:
je veux bien, et bien sûr j'avais pensé à cela.
Mais la difficulté n'est pas là!
La difficulté c'est de le traduire proprement en langage mathématique!
En effet je ne vois pas trop pour l'instant si la corde obéit alors à un principe énergétique qui m'est inconnu ou à un principe géométrique uniquement!
Ca peut paraître bête mais je suis sûr que la démonstration n'est pas si évidente que ca!
Et mon but à travers cet exemple simple est de comprendre le genre de méthodes
utilisées dans ce genre d'optimisations!
Réponse à gb: merci je comprend mieux maintenant!!!:) -
ici, l'idée est que les tangentes au cercle sont perpendiculaires au rayon vecteur et que la plus courte distance entre deux points est la ligne droite sans contraintes dans le plan et un arc de cercle si on est astreint à se déplacer sur une circonférence. Dans la mesure où il y a une grosse part d'intuition géométrique (c'est un bien grand mot en ce qui me concerne) dans le choix du chemin de plus petite longueur, il paraît normal d'en tenir compte.A demon wind propelled me east of the sun
-
Oui, désolé pour ce lapsus, j'ai dit 2 fois géométrique alors qu'en fait je voulais dire énergétique la première fois. Mais regarde, j'ai modifié mon post.
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Bonjour!
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