déplacement dans une couronne.
Bonjour.
On se place dans R² plan euclidien pour la norme usuelle d'indice 2. Soient r et r' deux réels strictement positifs tels que r<r'
Soit A= B(0,r') \ B(0,r).
Soit (x,y) dans A². Donner en fonction de r de r', des normes de x et y et de l'angle (x,y):=@, la distance minimale à parcourir pour aller de x à y via un chemin continu de A :
d = f(r, r', ||x||, ||y||,@).
Merci.
(merci modérateur, au passage le @ est un têta)
On se place dans R² plan euclidien pour la norme usuelle d'indice 2. Soient r et r' deux réels strictement positifs tels que r<r'
Soit A= B(0,r') \ B(0,r).
Soit (x,y) dans A². Donner en fonction de r de r', des normes de x et y et de l'angle (x,y):=@, la distance minimale à parcourir pour aller de x à y via un chemin continu de A :
d = f(r, r', ||x||, ||y||,@).
Merci.
(merci modérateur, au passage le @ est un têta)
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Réponses
Alors
TU as su placer ces bons pts ou il fallait...
mais ma question est la suivante:
pourquoi un chemin de longueur minimale passerait-il par x' et y'?
$$\Vert x \Vert.\Vert y \Vert.\sin\theta \geq r\sqrt{\Vert x \Vert^2 + \Vert y \Vert^2 - 2\Vert x \Vert.\Vert x \Vert.\cos\theta}$$.
Lorsque le segment est inclus dans la couronne, la distance minimale est bien évidemment $\sqrt{\Vert x \Vert^2 + \Vert y \Vert^2 - 2\Vert x \Vert.\Vert y \Vert.\cos\theta}$.
Soit $x''$ et $y''$ les intersections respectives avec ces droites, alors l'arc $xx''$ a une longueur supérieure au segment $[xx']$ par projection orthogonale, idem pour l'arc $yy''$ et le segment $[yy'']$.
Dans le secteur angulaire $x'0y'$, l'arc $x''y''$ a une longueur supérieure à l'arc de cercle $x'y'$.
je veux bien, et bien sûr j'avais pensé à cela.
Mais la difficulté n'est pas là!
La difficulté c'est de le traduire proprement en langage mathématique!
En effet je ne vois pas trop pour l'instant si la corde obéit alors à un principe énergétique qui m'est inconnu ou à un principe géométrique uniquement!
Ca peut paraître bête mais je suis sûr que la démonstration n'est pas si évidente que ca!
Et mon but à travers cet exemple simple est de comprendre le genre de méthodes
utilisées dans ce genre d'optimisations!
Réponse à gb: merci je comprend mieux maintenant!!!:)