Salut :
Tu poses :
$\ y = \tan (x) $
Et donc : $\ dy = (1+ \tan^{2}(x)).dx = (1+y^{2}).dx $
i.e : $\ \frac{1}{1+y^{2}}. dy = dx $.
Tu trouves :
$\ \int \log (1+ \tan (x)) dx = \int \frac{\log(1+ y)}{1+y^{2}}.dy $
Après, tu primitives par parties : $\ \int u'.v = u.v - \int u.v' $
Ensuite, tu simplifies ton expression ... et tu remplaces : $\ y = \tan (x) $ à la fin du calcul ...
La seconde intégration par parties n'est pas difficile à mettre en place :
$$\int \dfrac{\log(1+y)}{1+y^2}\,dy = \log(1+y).\arctan y - \int \dfrac{\arctan y}{1+y}\,dy,$$
et c'est la détermination d'une primitive de $\dfrac{\arctan y}{1+y}$ qui peut poser problème.
Ensuite, il y a une simplification en éléments simples (en exploitant une symétrie d'écriture) et l'intégrale apparaît avec un signe opposé dans le membre de droite.
Bon, soit je réfléchi ou soit je retrouvé le fameux pdf où je l'ai pompée.
Je n'ai pas encore lu le post en détail mais il y a sûrement moyen d'adapter ici.
bonjour
Je tiens à vous préciser que j'ai recentré cette quéstion dans mon examen "épreuve de analyse "
Alors j'en doute for que la solution soit si compliquer.
Donnez une solution la moins compliqué possible. Merci
Je n’ai pas su rependre dans le bon moment mais je veux connaitre la solution merci
Alors, Ishak, si tu doutes que la solution soit si compliquée parce qu'on t'a posé cette question à ton examen d'analyse, peut-être pourrais-tu vérifier et nous donner la question exactement comme elle est posée dans ton examen.
Veuillez m'excuser pour ce malentendu,
Tous ce que je voulais dire c'est que cette question est destinée à des étudiants qui ne connaissent pas ce genre de théorème comme l'algorithme de Risch .
Vous avez demandé l'énoncé de l'exercice :
calculez l'intégrale de f(x) sur l'intervalle [0,pi/4] .
f(x) = ln( 1 + tan(x) )
Pour pg77 :
Je tiens à vous préciser que pas une seconde je n'ai douté de votre solution. c'est seulement qu'on n'a pas encore atteint ce niveau dans ma classe.
Merci beaucoup.
Voici la solution du Monier T1 p 257. Excellente car elle te laisse un peu de boulot:
$$\int_0^{\pi/4} \log(1+\tan x)\,\textrm dx = \int_0^{\pi/4} \log (\cos(\frac \pi 4 - x))\,\textrm dx - \int_0^{\pi/4} \log (\cos(\frac \pi 4))\,\textrm dx -\int_0^{\pi/4} \log (\cos x )\,\textrm dx = -\dfrac \pi 4 \log(\dfrac {\sqrt2} {2}).$$
Il y a une morale à cette histoire. Comme punition, tu devras l'écrire !
Il faut bien croire que j'ai pas le niveau, je suis terriblement déçu de ma propre prestation.
Pour commencer une simple question d’examen que j’ai pas pus résoudre et le pire je me suis mis a douté des solution qu’elles ma étaient donné.
Excusez mon incompétence.
Merci a tous merci beaucoup et en se qui concerne la punition je m’en occupe.
C'est ton dernier message qui n'est pas au niveau ! Je t'ai demandé de tirer une morale de ce fil et tu te mets à pleurnicher.
Nous avons tous notre niveau - plus ou moins mesurable, qui dépend des jours, qui n'a aucun sens, ça dépend des avis - qui n'est pas celui qu'on aimerait.
En revanche j'estime qu'il y a une moralité à tirer de tout cela comme après toute bévue, boulette et autre aberration de l'esprit. Si tu ne donnes pas une réponse satisfaisante, je serai terrible: je donnerai ma propre version.
J'attire ton attention sur le fait que dans ton attitude je relève au moins un point positif. J'y reviendrai j'espère.
En attendant, ta moralité !
e.v.
PS Je suis d'autant plus tranquille à écrire ces lignes que j'ai signé sur ce site un certain nombre de bouses et autres crétineries.
Le problème est que tu as posé une question (trouver la primitive de..) qui n'a rien à voir avec la vraie question qui t'était posée dans ton examen (calculer l'intégrale de .. sur un intervalle donné).
J'espère que tu comprends qu'il y a de quoi être agacé.
Réponses
Tu poses :
$\ y = \tan (x) $
Et donc : $\ dy = (1+ \tan^{2}(x)).dx = (1+y^{2}).dx $
i.e : $\ \frac{1}{1+y^{2}}. dy = dx $.
Tu trouves :
$\ \int \log (1+ \tan (x)) dx = \int \frac{\log(1+ y)}{1+y^{2}}.dy $
Après, tu primitives par parties : $\ \int u'.v = u.v - \int u.v' $
Ensuite, tu simplifies ton expression ... et tu remplaces : $\ y = \tan (x) $ à la fin du calcul ...
$$\int \dfrac{\log(1+y)}{1+y^2}\,dy = \log(1+y).\arctan y - \int \dfrac{\arctan y}{1+y}\,dy,$$
et c'est la détermination d'une primitive de $\dfrac{\arctan y}{1+y}$ qui peut poser problème.
Il y a une simplification démentielle, du moins sur l'intervalle [-1,1] et ceux grâce à Fubini.
$\displaystyle\int_0^1\frac{\log(1+ y)}{1+y^{2}}.dy=\int_0^1\int_0^1\frac{1}{1+y^2}\frac{y}{1+xy}dxdy$
Ensuite, il y a une simplification en éléments simples (en exploitant une symétrie d'écriture) et l'intégrale apparaît avec un signe opposé dans le membre de droite.
Bon, soit je réfléchi ou soit je retrouvé le fameux pdf où je l'ai pompée.
Je n'ai pas encore lu le post en détail mais il y a sûrement moyen d'adapter ici.
Après quelques calculs :
$\displaystyle2\int_0^1\frac{\log(1+ y)}{1+y^{2}}dy=\int_0^1\int_0^1\frac{x+y}{(1+x^2)(1+y^2)}dxdy=\frac{\pi\ln(2)}{4}$
... Et la flegme de tout recopier !
Alors j'ai pensé si je mettais
Cela pourrait nous faciliter la tâche non.
Vous m'excuserez, je suis encore nouveau, je manque encore d'expérience sur ce site. Je me documentrai sur son fonctionnement.
Merci à tous pour ces idées astucieuses.
Bonne nuit
Je tiens à vous préciser que j'ai recentré cette quéstion dans mon examen "épreuve de analyse "
Alors j'en doute for que la solution soit si compliquer.
Donnez une solution la moins compliqué possible. Merci
Je n’ai pas su rependre dans le bon moment mais je veux connaitre la solution merci
Veuillez m'excuser pour ce malentendu,
Tous ce que je voulais dire c'est que cette question est destinée à des étudiants qui ne connaissent pas ce genre de théorème comme l'algorithme de Risch .
Vous avez demandé l'énoncé de l'exercice :
calculez l'intégrale de f(x) sur l'intervalle [0,pi/4] .
f(x) = ln( 1 + tan(x) )
Pour pg77 :
Je tiens à vous préciser que pas une seconde je n'ai douté de votre solution. c'est seulement qu'on n'a pas encore atteint ce niveau dans ma classe.
Merci beaucoup.
Voici la solution du Monier T1 p 257. Excellente car elle te laisse un peu de boulot:
$$\int_0^{\pi/4} \log(1+\tan x)\,\textrm dx = \int_0^{\pi/4} \log (\cos(\frac \pi 4 - x))\,\textrm dx - \int_0^{\pi/4} \log (\cos(\frac \pi 4))\,\textrm dx -\int_0^{\pi/4} \log (\cos x )\,\textrm dx = -\dfrac \pi 4 \log(\dfrac {\sqrt2} {2}).$$
Il y a une morale à cette histoire. Comme punition, tu devras l'écrire !
amicalement, tout de même,
e.v.
Pour commencer une simple question d’examen que j’ai pas pus résoudre et le pire je me suis mis a douté des solution qu’elles ma étaient donné.
Excusez mon incompétence.
Merci a tous merci beaucoup et en se qui concerne la punition je m’en occupe.
C'est ton dernier message qui n'est pas au niveau ! Je t'ai demandé de tirer une morale de ce fil et tu te mets à pleurnicher.
Nous avons tous notre niveau - plus ou moins mesurable, qui dépend des jours, qui n'a aucun sens, ça dépend des avis - qui n'est pas celui qu'on aimerait.
En revanche j'estime qu'il y a une moralité à tirer de tout cela comme après toute bévue, boulette et autre aberration de l'esprit. Si tu ne donnes pas une réponse satisfaisante, je serai terrible: je donnerai ma propre version.
J'attire ton attention sur le fait que dans ton attitude je relève au moins un point positif. J'y reviendrai j'espère.
En attendant, ta moralité !
e.v.
PS Je suis d'autant plus tranquille à écrire ces lignes que j'ai signé sur ce site un certain nombre de bouses et autres crétineries.
Le problème n'est pas celui de ta compétence.
Le problème est que tu as posé une question (trouver la primitive de..) qui n'a rien à voir avec la vraie question qui t'était posée dans ton examen (calculer l'intégrale de .. sur un intervalle donné).
J'espère que tu comprends qu'il y a de quoi être agacé.