Opérateur à noyau avec mesure non sigma-finie
Bonjour,
0n parle beaucoup des opérateur à noyau sur les espaces $L^2$, i.e. définis par
$$
Af(x) = \int_{\Omega} f(y)K(x,y) \mathrm d\mu (y)
$$
qui sont des opérateurs compacts sous réserve que $K$ est de carré intégrable et $\mu$ est la mesure de Lebesgue. Que peut-on dire si la mesure $\mu$ n'est pas sigma-finie ? Je pense à la mesure de Hausdorff en dimension 1 sur $\mathbb{R}^2$ (celle qui mesure les longueurs de segments). A-t-on des résultats de compacité ?
Merci !
0n parle beaucoup des opérateur à noyau sur les espaces $L^2$, i.e. définis par
$$
Af(x) = \int_{\Omega} f(y)K(x,y) \mathrm d\mu (y)
$$
qui sont des opérateurs compacts sous réserve que $K$ est de carré intégrable et $\mu$ est la mesure de Lebesgue. Que peut-on dire si la mesure $\mu$ n'est pas sigma-finie ? Je pense à la mesure de Hausdorff en dimension 1 sur $\mathbb{R}^2$ (celle qui mesure les longueurs de segments). A-t-on des résultats de compacité ?
Merci !
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Réponses
En fait ça tombe bien, car $K(x,.)$ est l'indicatrice d'une droite donnée qui dépend du paramètre $x$ (:P)
Cet opérateur $A$ est en fait la transformée de Radon
Soit $Z=[-1,1]\times [0,\pi]$. La transformée de Radon $\mathcal{R}$ est un opérateur de $L^2(\Omega)$ dans $L^2(Z)$ défini par
$$
\mathcal{R} f(s,\vartheta) = \int_{D_{s,\vartheta}\cap \Omega} f(x) d\sigma(x),
$$
où $\sigma$ est la mesure de Hausdorff de dimension 1 dans $\mathbb{R}^2$. $\mathcal{R}$ est bien défini, est borné, et dans la littérature est un opérateur compact, mais je n'en ai pas la preuve.
J'ai donc pensé a mes vieux cours de maitrise avec les opérateurs intégraux à noyau. Je pense qu'il est possible de l'approximer par une suite d'opérateurs intégraux dont le noyau est une vraie fonction, mais je ne vois pas du tout comment...
> La transformée de
> Radon $\mathcal{R}$ est un opérateur de
> $L^2(\Omega)$ dans $L^2(Z)$ défini par
> $$
> \mathcal{R} f(s,\vartheta) =
> \int_{D_{s,\vartheta}\cap \Omega} f(x)
> d\sigma(x),
> $$
> où $\sigma$ est la mesure de Hausdorff de
> dimension 1 dans $\mathbb{R}^2$. $\mathcal{R}$ est
> bien défini,
Justement là, il y a un truc qui m'échappe : comment tu intègres un élément de $L^2(\Omega)$, qui est en fait une classe d'équivalence modulo l'égalité pp, sur une droite qui est de mesure nulle ? Cette définition ne me semble pas pouvoir être utilisée telle quelle dans le cas $L^2$ ?
Il me semble qu'on le définit pour $f \in C(\overline{\Omega})$ et qu'on étend par densité.
Bon en fait je n'y mets pas ma main à couper, je me souviens avoir lu une construction comme ça mais c'était à propos de la transformée de Radon sphérique ($f$ et $\mathcal{R}f$ sont définies sur $S^n$ toutes les deux au lieu de $B^n$ et $]-1,1[ \times ]0,\pi[$). M'enfin ça m'étonnerait que ça soit différent dans le cas de Sasha, en tous cas je ne vois pas d'autre manière de bien définir cette transformation. Dans l'article que j'avais lu, il y avait le preuve de l'injectivité et des estimations avec des normes de Sobolev diverses et variées, dont découlait la compacité. Je vais essayer de le retrouver.
PAR CONTRE
L'opérateur qui a toute fonction $f$ de $L^2(\Omega)$ associe sa transformée de Radon en un nombre FINI de points $(\mathcal{R}f(s_1,\vartheta_1),\dots,\mathcal{R}f(s_N,\vartheta_N))$ n'a aucun sens, pour les raisons que tu as évoquées remarque : la transformée dépend du représentant de classe.
Egoroff si tu retrouves ton papier je suis preneur !
As-tu regardé ceci : \lien{http://iria.pku.edu.cn/~jiangm/courses/IRIA/node32.html} ? Il n'y a pas de preuve, mais il y a des estimations Sobolev qui impliquent tout de suite la compacité effectivement.
c'est l'inégalité 2.45 dont tu parles ?
Si $A$ est un opérateur intégral, et son noyau est $K$, alors selon la définition suivante du noyau :
$\ker(A)=\{z \in L^2,\ A(z)=0\}$, si j'ai bien compris $K=z$ !
J'ai besoin d'une preuve, sinon pouvez-vous me clarifier la signification du terme "noyau" dans les deux cas ?
Merci d'avance