Opérateur à noyau avec mesure non sigma-finie

Touché !

En fait ça tombe bien, car $K(x,.)$ est l'indicatrice d'une droite donnée qui dépend du paramètre $x$ (:P)

Cet opérateur $A$ est en fait la transformée de Radon

Justement. Il est compact, ce qui fait que son inverse généralisé est instable, et c'est tout le problème de la tomographie. Je réécris la transformée de Radon pour que l'on soit d'accord: soit $\Omega$ le disque unité de $\mathbb{R}^2$, soit $f\in L^2(\Omega)$, $D_{s,\vartheta}$ une droite indicée par le couple $(s,\vartheta)$ J'ai la flemme de faire un dessin, mais en gros $\vartheta$ fixe l'orientation de la droite et $s$ sa position: à $\vartheta$ fixé, $(D_{s,\vartheta})_{s\in[-1,1]}$ est une famille de droite parallèles. Le couple $(s,\vartheta)$ joue le rôle du $x$ dans mon 1er post.

Soit $Z=[-1,1]\times [0,\pi]$. La transformée de Radon $\mathcal{R}$ est un opérateur de $L^2(\Omega)$ dans $L^2(Z)$ défini par
$$
\mathcal{R} f(s,\vartheta) = \int_{D_{s,\vartheta}\cap \Omega} f(x) d\sigma(x),
$$
où $\sigma$ est la mesure de Hausdorff de dimension 1 dans $\mathbb{R}^2$. $\mathcal{R}$ est bien défini, est borné, et dans la littérature est un opérateur compact, mais je n'en ai pas la preuve.

J'ai donc pensé a mes vieux cours de maitrise avec les opérateurs intégraux à noyau. Je pense qu'il est possible de l'approximer par une suite d'opérateurs intégraux dont le noyau est une vraie fonction, mais je ne vois pas du tout comment...

Je prends note

c'est l'inégalité 2.45 dont tu parles ?

Excuse-moi Remarque mais je suis un peu largué... Je ne vois pas comment cette inégalité prouve la compacité de la transformée de Radon (en tant qu'opérateur de $L^2(\Omega)$ dans $L^2(Z)$, cf mes notations précédentes).