Justement. Il est compact, ce qui fait que son inverse généralisé est instable, et c'est tout le problème de la tomographie. Je réécris la transformée de Radon pour que l'on soit d'accord: soit $\Omega$ le disque unité de $\mathbb{R}^2$, soit $f\in L^2(\Omega)$, $D_{s,\vartheta}$ une droite indicée par le couple $(s,\vartheta)$ J'ai la flemme de faire un dessin, mais en gros $\vartheta$ fixe l'orientation de la droite et $s$ sa position: à $\vartheta$ fixé, $(D_{s,\vartheta})_{s\in[-1,1]}$ est une famille de droite parallèles. Le couple $(s,\vartheta)$ joue le rôle du $x$ dans mon 1er post.
Soit $Z=[-1,1]\times [0,\pi]$. La transformée de Radon $\mathcal{R}$ est un opérateur de $L^2(\Omega)$ dans $L^2(Z)$ défini par
$$
\mathcal{R} f(s,\vartheta) = \int_{D_{s,\vartheta}\cap \Omega} f(x) d\sigma(x),
$$
où $\sigma$ est la mesure de Hausdorff de dimension 1 dans $\mathbb{R}^2$. $\mathcal{R}$ est bien défini, est borné, et dans la littérature est un opérateur compact, mais je n'en ai pas la preuve.
J'ai donc pensé a mes vieux cours de maitrise avec les opérateurs intégraux à noyau. Je pense qu'il est possible de l'approximer par une suite d'opérateurs intégraux dont le noyau est une vraie fonction, mais je ne vois pas du tout comment...