Opérateur à noyau avec mesure non sigma-finie

Bonjour,

0n parle beaucoup des opérateur à noyau sur les espaces $L^2$, i.e. définis par
$$
Af(x) = \int_{\Omega} f(y)K(x,y) \mathrm d\mu (y)
$$
qui sont des opérateurs compacts sous réserve que $K$ est de carré intégrable et $\mu$ est la mesure de Lebesgue. Que peut-on dire si la mesure $\mu$ n'est pas sigma-finie ? Je pense à la mesure de Hausdorff en dimension 1 sur $\mathbb{R}^2$ (celle qui mesure les longueurs de segments). A-t-on des résultats de compacité ?

Merci !

Si $\mu$ est la mesure de Hausdorff de dimension 1 dans $\R^2$, l'intégrale n'a de chance d'être définie que si $K(x,\cdot)$ a un support de dimension de Hausdorff 1. On ne voit pas trop ce que $f(y)$ signifie sur un tel ensemble pour $f\in L^2(\Omega)$.

Touché !

En fait ça tombe bien, car $K(x,.)$ est l'indicatrice d'une droite donnée qui dépend du paramètre $x$

Cet opérateur $A$ est en fait la transformée de Radon

Je ne connais que de nom, mais je vois mal la définition sur $L^2$. Comment fait-on ? Si j'ai bien compris, cet opérateur s'inverse pour faire de la tomographie, ce qui paraît un peu incompatible avec une compacité quelconque.

Justement. Il est compact, ce qui fait que son inverse généralisé est instable, et c'est tout le problème de la tomographie. Je réécris la transformée de Radon pour que l'on soit d'accord: soit $\Omega$ le disque unité de $\mathbb{R}^2$, soit $f\in L^2(\Omega)$, $D_{s,\vartheta}$ une droite indicée par le couple $(s,\vartheta)$ J'ai la flemme de faire un dessin, mais en gros $\vartheta$ fixe l'orientation de la droite et $s$ sa position: à $\vartheta$ fixé, $(D_{s,\vartheta})_{s\in[-1,1]}$ est une famille de droite parallèles. Le couple $(s,\vartheta)$ joue le rôle du $x$ dans mon 1er post.

Soit $Z=[-1,1]\times [0,\pi]$. La transformée de Radon $\mathcal{R}$ est un opérateur de $L^2(\Omega)$ dans $L^2(Z)$ défini par
$$
\mathcal{R} f(s,\vartheta) = \int_{D_{s,\vartheta}\cap \Omega} f(x) d\sigma(x),
$$
où $\sigma$ est la mesure de Hausdorff de dimension 1 dans $\mathbb{R}^2$. $\mathcal{R}$ est bien défini, est borné, et dans la littérature est un opérateur compact, mais je n'en ai pas la preuve.

J'ai donc pensé a mes vieux cours de maitrise avec les opérateurs intégraux à noyau. Je pense qu'il est possible de l'approximer par une suite d'opérateurs intégraux dont le noyau est une vraie fonction, mais je ne vois pas du tout comment...

Sasha écrivait:
-------------------------------------------------------
> La transformée de
> Radon $\mathcal{R}$ est un opérateur de
> $L^2(\Omega)$ dans $L^2(Z)$ défini par
> $$
> \mathcal{R} f(s,\vartheta) =
> \int_{D_{s,\vartheta}\cap \Omega} f(x)
> d\sigma(x),
> $$
> où $\sigma$ est la mesure de Hausdorff de
> dimension 1 dans $\mathbb{R}^2$. $\mathcal{R}$ est
> bien défini,

Justement là, il y a un truc qui m'échappe : comment tu intègres un élément de $L^2(\Omega)$, qui est en fait une classe d'équivalence modulo l'égalité pp, sur une droite qui est de mesure nulle ? Cette définition ne me semble pas pouvoir être utilisée telle quelle dans le cas $L^2$ ?

Hello,

Il me semble qu'on le définit pour $f \in C(\overline{\Omega})$ et qu'on étend par densité.

Ouuaais, alors bien sûr, si on étend par densité, pfff ! Bon, ok, j'eus dû y penser tout seul.

Baaah ooouiii !!

Bon en fait je n'y mets pas ma main à couper, je me souviens avoir lu une construction comme ça mais c'était à propos de la transformée de Radon sphérique ($f$ et $\mathcal{R}f$ sont définies sur $S^n$ toutes les deux au lieu de $B^n$ et $]-1,1[ \times ]0,\pi[$). M'enfin ça m'étonnerait que ça soit différent dans le cas de Sasha, en tous cas je ne vois pas d'autre manière de bien définir cette transformation. Dans l'article que j'avais lu, il y avait le preuve de l'injectivité et des estimations avec des normes de Sobolev diverses et variées, dont découlait la compacité. Je vais essayer de le retrouver.

Non Remarque, $\mathcal{R} : L^2(\Omega) \rightarrow L^2(Z)$ est bien défini au sens que si $f = h$ pp sur $\Omega$, alors $\mathcal{R}f = \mathcal{R}h$ pp sur $Z$. On a bien le droit de définir $\mathcal{R}$ comme un opérateur de $L^2(\Omega)$ dans $L^2(Z)$. La définition que j'ai donnée correspond à UN représentant de classe $f$. Mais toutes les fcts $L^2$ de la classe de $f$ ont une transformée de Radon pp égale a celle de $f$. Pas besoin donc de prendre un sous ensemble dense de fonctions régulières.

PAR CONTRE

L'opérateur qui a toute fonction $f$ de $L^2(\Omega)$ associe sa transformée de Radon en un nombre FINI de points $(\mathcal{R}f(s_1,\vartheta_1),\dots,\mathcal{R}f(s_N,\vartheta_N))$ n'a aucun sens, pour les raisons que tu as évoquées remarque : la transformée dépend du représentant de classe.

Egoroff si tu retrouves ton papier je suis preneur !

OK. Je vois bien que le truc est défini pp en $s$ à $\theta$ fixé par exemple, en écrivant $L^2(\R^2)$ comme $L^2(\R;L^2(\R))$. En faisant varier les deux en même temps, je vois moins, mais ça se conçoit.

As-tu regardé ceci : \lien{[iria.pku.edu.cn]} ? Il n'y a pas de preuve, mais il y a des estimations Sobolev qui impliquent tout de suite la compacité effectivement.

Sorry, erreur de débutant : http://iria.pku.edu.cn/~jiangm/courses/IRIA/node32.html

Je prends note

c'est l'inégalité 2.45 dont tu parles ?

Oui. Avec $\alpha=0$.

Excuse-moi Remarque mais je suis un peu largué... Je ne vois pas comment cette inégalité prouve la compacité de la transformée de Radon (en tant qu'opérateur de $L^2(\Omega)$ dans $L^2(Z)$, cf mes notations précédentes).

J'ai une question sur l'opérateur intégral à noyau $K$.
Si $A$ est un opérateur intégral, et son noyau est $K$, alors selon la définition suivante du noyau :
$\ker(A)=\{z \in L^2,\ A(z)=0\}$, si j'ai bien compris $K=z$ !
J'ai besoin d'une preuve, sinon pouvez-vous me clarifier la signification du terme "noyau" dans les deux cas ?
Merci d'avance

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