Polynôme et exponentielle
Bonsoir à tous,
je cherche à montrer que l'exponentielle ne coïncide avec aucun polynôme sur l'intervalle $[0,1]$.J'essaie pour cela de raisonner par l'absurde,mais je n'aboutis pas à une contradiction (en étudiant,par exemple,les limites).Je me demandais si le raisonnement suivant est correct :
on suppose qu'il existe un tel polynôme de degré $n$,alors en dérivant $n$ fois ce polynôme,on finit par tomber sur le polynôme nul tandis que l'exponentielle dérivée $n$ fois,c'est l'exponentielle,qui ne s'annule jamais...
Merci à tous.
Cordialement.
je cherche à montrer que l'exponentielle ne coïncide avec aucun polynôme sur l'intervalle $[0,1]$.J'essaie pour cela de raisonner par l'absurde,mais je n'aboutis pas à une contradiction (en étudiant,par exemple,les limites).Je me demandais si le raisonnement suivant est correct :
on suppose qu'il existe un tel polynôme de degré $n$,alors en dérivant $n$ fois ce polynôme,on finit par tomber sur le polynôme nul tandis que l'exponentielle dérivée $n$ fois,c'est l'exponentielle,qui ne s'annule jamais...
Merci à tous.
Cordialement.
Réponses
-
C'est bien : il te suffit maintenant de justifier que, pour tout entier n, si deux fonctions coïncident sur [0,1], alors leurs dérivées n-ièmes coïncident sur ]0,1[.
-
Bah pourquoi ? S'il a dérivé $n+1$ fois, c'est bon.
-
Merci pour vos réponses.
Le barbant raseur,le résultat qu'il me reste à justifier est presque évident non?Il suffit de l'écrire n'est-ce-pas?Ou est-ce plus subtile que cela?
Aussi,comme remarque,je ne comprends pas pourquoi il est nécéssaire d'apporter cette justification.
J'en profite aussi pour vous soumettre un petit exercice d'algèbre linéaire:
on considère $A$ une algèbre commutative,unitaire et intègre.Il faut montrer que $A$ est un corps.J'ai donc pris un élément $a$ de $A$ non nul et j'essaie de montrer qu'il exite un élément $b$ de $A$ tel que $ab=1$.J'ai dit que de l'intégrité de $A$ découlait le fait qu'une telle égalité était impliquée par $a$ et $b$ non nuls,donc il suffit de prendre $b=1/a$ comme inverse de $a$ dans $A$...est-ce correct?
Merci d'avance :-). -
Le résultat étant faux (prendre $A=k[X]$), la démonstration l'est aussi forcément.
-
Guce a écrit:Le barbant raseur,le résultat qu'il me reste à justifier est presque évident non ? Il suffit de l'écrire n'est-ce-pas ?
Si tu as une "bonne" définition de la dérivée, oui, la démonstration sera rapide et triviale (raison de plus pour l'écrire).
Par contre, si ta définition de la dérivée, c'est "un truc linéaire tel que exp(x)'=exp(x) et tel que (x^n)'=n.x^n-1", là tu vas avoir plus de mal. Les polynômes X^2+X et 0 prennent les mêmes valeurs dans Z/2Z. Pas leurs "dérivées".
J'avais l'impression que tu cherchais un point à justifier dans ta preuve (tu demandes si c'est correct, pour moi, ça veut dire "quel est le point le moins évident dans ce que je raconte?"), mais à moi, elle me va très bien comme ça (je dirais même que le résultat se passe pour ainsi dire de preuve, non ?).
Pour ton algèbre, j'imagine que les hypothèses manquantes sont "sur un corps" et "de dimension finie". Pour ta proposition de démontration, je suis désolé mais je n'y comprends pas un traitre mot!
En tout cas, je te suggère plutôt de montrer, pour tout a, l'injectivité de l'application linéaire x->a.x (endomorphisme de l'espace-vectoriel sous-jacent de ton algèbre). -
Et bien merci beaucoup le barbant raseur,et effectivement,il y a l'hypothèse de dimension finie qui nous mène à considérer l'isomorphisme en question.
Bonne soirée
. -
Je t'en prie.
Bonne soirée à toi aussi -
Bonjour à tous,
pour un problème numérique, j'essaie de trouver une suite de polynômes qui coïncide avec une exponentielle ... ma fonction est: exp(-(1/cosu+1/cosv).t) avec t compris entre [0,5].
Merci par avance. -
Bonjour Laure.
" avec t compris entre [0,5]" et quoi ? (de plus, t étant un nombre, il ne sera ni inférieur ni supérieur à un intervalle comme [0;5]).
Si tu as lu ce qui précède, tu sais que ta question n'a pas de réponse, en tout cas comme elle est rédigée ("suite de polynômes qui coïncide avec une exponentielle "). Donc il serait bon que tu repenses ton problème pour poser une question qui a un sens.
Cordialement.
NB : Très souvent, arriver à poser la question correctement suffit pour savoir où trouver la réponse. -
si on suppose par l absurde que lexpo est un polynome p .alors le polynome p est egale a sa dirivee ce qui est absurde puisque la dirivee de lexpo est lui meme .
-
5 ans après,
reprendre un sujet en disant ce qui a été déjà dit ...
(td) -
Il est possible de rédiger le même argument à l'aide des développements limités.
Si $P$ et l'exponentielle coïncident sur $[0;1]$ alors ils ont le même développement limité en $0$ (ou en $1/2$) à tout ordre.
Or aucun coefficient du dévelopement limité de l'exponentielle n'est nul, tandis que pour $n>deg(P)$, le $n$-ième coefficient du développement limité de $P$ est nul.
Contradiction.
C'est possible en utilisant l'unicité du prolongement analytique.Guce écrivait: a écrit:(en étudiant,par exemple,les limites).
La fonction exponentielle et les polynômes sont analytiques sur $\R$. Si l'exponentielle est égale à un polynôme $P$ sur $[0,1]$, alors elle est égale à $P$ sur $\R$ (prolongement analytique).
On arrive à une contradiction en remarquant que $\lim_{x\to +\infty }\frac{P(x)}{e^x} = 0\neq 1$. -
Bonsoir,
Pendant que l'on est dans les solutions différentes, on peut dire cela aussi:
Si $P(x)=\exp(x)$ sur $[0,1]$, alors $P$ est non nul, et si $a=\frac{1}{10}$, et $b=1-a$, on a sur $[0,b]$
$$P(x+a)=\exp(x+a)=\exp(a)\exp(x)=\exp(a)P(x) $$ ce qui implique que les deux polyn\^omes $P(x+a)$ et $\exp(a)P(x)$ sont égaux. On a une contradiction en regardant le coeffcient du terme de plus haut degré.
Cordialement. -
Tant qu'on y est : si un polynôme P coïncide avec exp sur [0,1], alors P coïncide avec exp sur tout le plan complexe (théorème de prolongement analytique). Donc exp s'annule (théorème de d'Alembert-Gauss), absurde
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Bonjour!
Catégories
- 163.1K Toutes les catégories
- 7 Collège/Lycée
- 21.9K Algèbre
- 37.1K Analyse
- 6.2K Arithmétique
- 53 Catégories et structures
- 1K Combinatoire et Graphes
- 11 Sciences des données
- 5K Concours et Examens
- 11 CultureMath
- 47 Enseignement à distance
- 2.9K Fondements et Logique
- 10.3K Géométrie
- 62 Géométrie différentielle
- 1.1K Histoire des Mathématiques
- 68 Informatique théorique
- 3.8K LaTeX
- 39K Les-mathématiques
- 3.5K Livres, articles, revues, (...)
- 2.7K Logiciels pour les mathématiques
- 24 Mathématiques et finance
- 312 Mathématiques et Physique
- 4.9K Mathématiques et Société
- 3.3K Pédagogie, enseignement, orientation
- 10K Probabilités, théorie de la mesure
- 772 Shtam
- 4.2K Statistiques
- 3.7K Topologie
- 1.4K Vie du Forum et de ses membres
In this Discussion
Qui est en ligne 6
+2 Invités