Suite de suites ..

Je détaille ce que t'expliquait Archimède : appelons "norme infinie" l'application de $\R^\N$ dans $\R^+ \cup \{+\infty\}$ qui à une suite associe le sup des valeurs absolues de ses coefficients.

L'indication de l'exercice ne peut pas être de montrer que $\R^\N$, muni de la "norme infinie", est complet, puisque la "norme infinie" n'est pas une norme sur $\R^\N$ (elle peut prendre la valeur $+\infty$). Par ailleurs, dans cet exercice, {\bf tout se passe dans $\ell^{\infty}(\R)$} : $D$ et $c_0$ sont des parties de $\ell^{\infty}(\R)$, on cherche l'adhérence de $D$ dans $\ell^{\infty}(\R)$, etc. Le gros machin dans lequel se passent les choses est $\ell^{\infty}(\R)$, pas $\R^\N$.

La "norme infinie" est bien une norme sur $\ell^{\infty}(\R)$ parce que, comme te le fait justement remarquer Archimède, $\ell^{\infty}(\R)$ est précisément le plus gros sous-truc de $\R^\N$ sur lequel elle prend ses valeurs dans $\R^+$ (les autres axiomes suivent sans problème). Muni de cette norme, $\ell^{\infty}(\R)$ est bien complet : c'est facile. On peut donc estimer à juste titre que l'indication est en fait : "on pourra montrer que $\ell^{\infty}(\R)$ est complet".

Quoique.

Quoique, parce que je ne vois pas le rapport : comme tu dis, les deux inclusions se montrent aisément !

$\cdot$ Tout élément de $c_0$ est limite d'une suite d'éléments de $D$ : c'est élémentaire et ça n'utilise pas le fait que $\ell^{\infty}(\R)$ soit complet (c'est encore vrai et tout aussi élémentaire pour $\ell^{\infty}(\Q)$).

$\cdot$ $D$ est inclus dans $c_0$ : c'est évident ; et $c_0$ est fermé : ça n'est pas évident, mais pas trop difficile et surtout je ne vois pas en quoi utiliser le fait que $\ell^{\infty}(\R)$ est complet pourrait en raccourcir la preuve (en utilisant le fait que $c_0$ est complet, à l'extrème limite, et encore). A moins qu'il existe une super caractérisation des fermés dans un complet que je ne connaisse pas (ou que j'aie oublié)...



A part ça, c'est toujours un plaisir de te répondre (surtout avec remarque et egoroff dans le coin, vu que je suis plus serein avec un filet...), j'en consomme un de mes précieux derniers messages.

Ton clavier n’a pas d’apostrophe ? ::o

En effet, tu peux par exemple introduire $d(u,v)=\sum_{i=1}^n 2^{-n} \max(1,|u_n-v_n)|$ et vérifier que $d$ est une {\bf distance} sur $\R^{\N}$, qui en fait un {\bf espace métrique complet}.

Mais il n'existe aucune {\bf norme} sur $\R^{\N}$ qui en fasse un {\bf espace vectoriel normé complet}.