arctan x +arctan y

moussa147
moussa147
dans Analyse
salut
Démontrer que :
arctan x + arctan y = arctan((x+y)/(1-xy)) <=> xy < 1
merci

Réponses

  • Bruno
    Bruno
    Bonjour moussa147.

    Deux choses à faire :
    \begin{enumerate}
    \item Montrer que : $$\tan\big(\arctan(x) + \arctan(y)\big) = \tan\left(\arctan\left(\dfrac{x + y}{1 - xy}\right)\right)$$
    \item comme $\arctan\left(\dfrac{x + y}{1 - xy}\right) \in \left]-\dfrac \pi 2,\dfrac \pi 2\right[$, montrer que l'autre terme appartient également à cet intervalle.
    \end{enumerate}

    Bruno
  • Richard André-Jeannin
    Richard André-Jeannin
    a=Arctg(x) <=> x=tg(a) et -pi/2<a<pi/2
    b=Arctg(y) <=> y=tg(b) et -pi/2<b<pi/2

    On a: -pi<a+b<pi

    tg(a+b)=(tg(a)+tg(b))/(1-tg(a)*tg(b))=(x+y)/(1-x*y).
    Si -pi/2<a+b<pi/2, on a: a+b= Arctg[(x+y)/(1-x*y)].

    Si pi/2<a+b<pi, alors -pi/2<a+b-pi<0 et a+b-pi=Arctg[(x+y)/(1-x*y)].
    Si -pi<a+b<-pi/2, alors 0<a+b+pi<pi/2 et a+b+pi=Arctg[(x+y)/(1-x*y)].
    Donc, on a l'égalité voulue si -pi/2<a+b<pi/2
    ce qui équivaut à cos (a+b)>0.
    cos(a+b)=cos(a)*cos(b)*[1-tg(a)*tg(b)]=cos(a)*cos(b)*[1-x*y]
    cos(a)>0 et cos(b)>0 (car a et b entre -pi/2 et pi/2). La condition est donc: 1-xy>0
  • Bruno
    Bruno
    RAJ, tu m'as trouvé sadique ou tu pensais qu'il ne se débrouillerait pas tout seul :D ?

    Bruno
  • Richard André-Jeannin
    Richard André-Jeannin
    En fait, je voulais voir si je n'étais pas trop rouillé sur des sujets que je ne pratique plus depuis une quinzaine d'années.J'en ai peut-être trop dit, emporté par mon élan.

    PS:J'ai l'impression que la notation pour la tangente a changé (un peu comme pour le log): "tg" est devenu "tan". J'ai vu cette notation dans le livre de maths dema fille (qui est en 3ème). Elle utilise même "cos^(-1)" sur la calculatrice.Inutile de lui parler d'Arc cos.
  • GERARD
    GERARD
    Salut RAJ

    Effectivement, la notation de la tangente a changé il y a une vingtaine d'années.
    Quant à la notation des calculette, elle diminue; c'est une des âneries des fabricants de calculette (celui de la première que j'ai eu, dans un formulaire, emporté par son élan _ cotg est l'inverse de tg - écrivait que cos est l'inverse de sin. Ne parlons pas de la touche EXP qui n'est pas l'exponentielle.

    Cordialement
  • borde
    borde
    Ne t'en fais pas, RAJ : en arithmétique, on emploie encore et toujours la notation $\log$ pour le logarithme dit "naturel". Et la notation $\log_2$ est pratiquement toujours utilisée pour désigner $\log \log$, et non pas le logarithme base $2$, pratiquement jamais utilisé en théorie des nombres.

    Attention, tout de même : "pratiquement jamais" ne signifie pas "jamais". Il m'est arrivé de tomber sur un article où l'auteur, pourtant arithméticien très connu, a néanmoins employé $\log_2$ pour le log base $2$. Je ne m'en suis pas rendu compte immédiatement, et ça fait un drôle d'effet !


    Borde.
  • Aleg
    Aleg
    Les notations du type $\cos^{-1}$ etc.. sont très utilisées dans le monde anglo-saxon, ce qui explique sans doute leur présence quasi-universelle sur les calculatrices.
    A mon avis, ces notations ne sont pas plus blâmables que les $\arccos $ etc.. : dans les deux cas, il est impératif d'avoir compris qu'il s'agit de la bijection réciproque d'une restriction de la fonction considérée (sauf pour $\sinh $..).

    Dans le genre notations à confusion, quand j'étais en Terminale, on notait Log (lire "grand log") le logarithme népérien et log (lire "petit log") le logarithme décimal.. Plus casse-gueule, je ne connais pas..

    Heureusement que les temps ont changé (et que, sauf pour quelques calculs pervers de pH, on n'utilise plus guère le log décimal).
  • Sylvain
    Sylvain
    On pourrait écrire par exemple $log_{\circ^{2}}$ pour $\log\log$, ça éviterait ce genre de confusions. Je vais solliciter un emploi à l'AFNOR !:D
  • Remarque0
    Remarque0
    $\mathrm{Log}$, $\mathrm{tg}$, $\mathrm{cotg}$, $\mathrm{sh}$, $\mathrm{ch}$, $\mathrm{th}$, $\mathrm{coth}$, $\mathrm{argsh}$, $\mathrm{argch}$, forever ! Astérix vaincra !

    Enfin, peut-être pas en fait...
  • Richard André-Jeannin
    Richard André-Jeannin
    Bonsoir Aleg

    "sauf pour quelques calculs pervers de pH, on n'utilise plus guère le log décimalé.

    Vous oubliez les échelles logarithmiques, bien utiles dans de nombreux domaines (y compris en finance).
  • GERARD à la maison
    GERARD à la maison
    Bonjour.

    Je complète, sur l'usage des log décimaux : Ils servent encore à calculer des gains (en électronique, automatique, etc.) et l'échelle log intervenant dans le tracé d'un diagramme de Bode, il est pratique de la tracer en décimal (C'est ce qu'on fait, sauf perversité, dans toutes les échelles log). Il servent aussi à évaluer la taille des nombres (genre 9^(9^9)), de même que le log binaire sert à évaluer la place en mémoire.

    Cordialement
  • Bruno
    Bruno
    Bon, finalement, Monsieur Moussa147 a eu la solution de son problème ailleurs et en profite pour nous manifester son dédain ! Heureusement que cela nous donne l'occasion de nous nous dérouiller, nous amuser entre nous, voire de nous recycler :D

    Bruno
  • gb
    gb
    Et les jumelles Sécante et Cosécante du savant Cosinus, comment les note-t-on au jour d'aujourd'hui ?
  • rémi
    rémi
    Je crois gb qu'en générale, elles sont enfermées dans un placard.
  • Billy1
    Billy1
    Pour revenir à la question posée, on peut toujours dériver les expressions....
  • Richard André-Jeannin
    Richard André-Jeannin
    C'est sans doûte la plus mauvaise des méthodes.
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