inégalité de Taylor-Lagrange

robby3
robby3
dans Analyse
Bonsoir,j'ai un soucis avec l'inégalité de Taylor-Lagrange...
en fait voici le probleme:
$f:[a,b]\longrightarrow \mathbb{R}$ de classe $C^2$,$M_2=Sup|f''(t)|$ sur $[a,b]$,
$I=\int_a^b f(t)dt$
$R=(b-a)f(\dfrac{a+b}{2})$

je veux montrer que $|I-R|\le M_2\dfrac{(b-a)^3}{24}$

j'ai $|I-R|=|\int_a^b f(t)dt-(b-a)f(\dfrac{a+b}{2})|=|\int_a^b [f(t)-f(\dfrac{a+b}{2})]dt|$

et là je voulais écrire la formule de taylor pour dire que:
$f(t)-f(\dfrac{a+b}{2})=f'(\dfrac{a+b}{2})(t-\dfrac{a+b}{2})+\dfrac{f''(\dfrac{a+b}{2})(t-\dfrac{a+b}{2})^2}{2}+\dfrac{f'''(c)(t-\dfrac{a+b}{2})^3}{3!}$

mais ça me donne rien!

pouvez-vous m'aider s'il vous plait?

Réponses

  • robby3
    robby3
    en gros c'est la méthode des trapezes pour un cas particulier...:-(
  • monsieur.patate0
    monsieur.patate0
    Sans Taylor-Lagrange. On définit :
    $\displaystyle \phi(x) =\int_{c-\frac{x}{2}}^{c+\frac{x}{2}}f(t)dt-xf(c)$ où $c=\dfrac{b+a}{2}$
    On dérivant deux fois, on obtient :
    $|\phi"(x)|=\left|\dfrac{1}{4}(f'(c+\dfrac{x}{2})-f'(c-\dfrac{x}{2})\right|\leq \dfrac{|x|}{4}\sup|f"|$ (accroissements finis).
    D'où $|\phi(x)|\leq \dfrac{|x^3|}{24}\sup|f"|$
    En particulier, $|I-R|=|\phi(b-a)|\leq\dfrac{(b-a)^3}{24}\sup|f"|$
    La même méthode marche pour la méthode de Simpson, en dérivant trois fois la fonction $\phi$.

    [Corrigé ($\frac{b-a}2$ en s$\frac{b+a}2$) selon ton indication. AD]
  • robby3
    robby3
    Bonsoir,
    merci monsieur patate...donc mon inégalité de Taylor-Lagrange,je peux la ranger au placard!
    Bon,ok!:)
    Merci(tu)
  • robby3
    robby3
    Re,
    Je ne comprends pas le d'où $|\phi(x)|\leq \dfrac{|x^3|}{24}\sup|f"|$
    ?
    Pouvez-vous me dire d'où ça vient ? :S:-(
  • monsieur.patate0
    monsieur.patate0
    Si $f'(t)\leq g'(t)$ alors $f(b)-f(a)\leq g(b)-g(a)$
    Dans la démonstration, on applique ce résultat à $a=0$ et $b=x$ deux fois. On "intègre" entre $a$ et $b$ en quelques sortes. Mais avec la formulation précédente on voit bien qu'il est important de vérifier, dans notre démo, que $\phi(0)=\phi'(0)=0$ (ce qui est le cas).
  • robby3
    robby3
    d'accord,merci!:)
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