suite récurrente délicate
Bonjour
Je considère la suite de nombres complexes $(a_n)$ définie par la relation de récurrence
$$a_{n+1}=a_n+ b_n a_{n-1}$$
où $(b_n)$ est une suite de nombres complexes.
Je souhaite déterminer un équivalent asymptotique de $|a_n |$. On sait faire lorsque la suite $(b_n)$ est constante mais sinon, quelle méthode peut-on employer ?
Je pensais considérer la suite de matrices $\begin{pmatrix}1& b_k \\ 1&0 \end{pmatrix}$ et le produit des $n$ premiers termes mais ensuite je ne vois pas trop quoi faire. J'ai aussi essayé de trouver une équation faisant intervenir la série génératrice mais mais sans succès.
Je ne suis pas à la recherche d'une méthode générale (enfin si cela existe je prends ) mais d'un exemple non trivial dont je pourrais m'inspirer.
Dernière précision, si cela peut aider, dans mon cas spécifique, la suite $(b_n)$ est de module 1 et ne prend qu'un nombre fini de valeurs.
Merci beaucoup,
Bruno
Je considère la suite de nombres complexes $(a_n)$ définie par la relation de récurrence
$$a_{n+1}=a_n+ b_n a_{n-1}$$
où $(b_n)$ est une suite de nombres complexes.
Je souhaite déterminer un équivalent asymptotique de $|a_n |$. On sait faire lorsque la suite $(b_n)$ est constante mais sinon, quelle méthode peut-on employer ?
Je pensais considérer la suite de matrices $\begin{pmatrix}1& b_k \\ 1&0 \end{pmatrix}$ et le produit des $n$ premiers termes mais ensuite je ne vois pas trop quoi faire. J'ai aussi essayé de trouver une équation faisant intervenir la série génératrice mais mais sans succès.
Je ne suis pas à la recherche d'une méthode générale (enfin si cela existe je prends ) mais d'un exemple non trivial dont je pourrais m'inspirer.
Dernière précision, si cela peut aider, dans mon cas spécifique, la suite $(b_n)$ est de module 1 et ne prend qu'un nombre fini de valeurs.
Merci beaucoup,
Bruno
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Réponses
Dans l'énoncé exact que tu as eu au Technische Universität , on ne parle pas de rotation ?
Cordialement.
J'aboutis à cette situation dans le cadre d'une recherche personnelle.
Ma matrice n'est pas une rotation il me semble, mais peut-être comprends-je mal le sens de ta question.
En fait, voilà ce que je me dis : lorsque b_n est constant, le comportement asymptotique de |a_n| est relié au spectre de la matrice (1, b ; 1, 0) il me semble. Dans le cas général, peut-on tenir un raisonnement voisin... ? Désolé c'est assez flou.
Bruno
Bruno
Je souhaitais juste ajouter que j'ai redécouvert, grâce à bs, que la multiplication par un complexe de module 1 correspondait à une rotation : on en fait de ces découvertes parfois...
Merci à bs et Richard André-Jeannin.
Bruno
http://www.emis.de/journals/JIS/VOL10/Rittaud2/rittaud11.pdf
maintenant si b(n) est périodique il me semble qu'on doit pouvoir démontrer que la croissance de: a(n)=a(n-1)+b(n)a(n-2) est exponentielle. Si par exemple
b(n)=(1,-1,i,1,-1,i,...) alors:
a(3n)=a(3n-1)+a(3n-2)
a(3n+1)=a(3n)-a(3n-1)=a(3n-2)
a(3n+2)=a(3n+1)+ia(3n-2)=(1+i)a(3n-2)
et le vecteur v(n)=(a(3n),a(3n+1),a(3n+2)) = M*v(n-1) où M est une matrice 3x3.
Bruno
bruno