suite récurrente délicate

brux · January 2009

Bonjour
Je considère la suite de nombres complexes $(a_n)$ définie par la relation de récurrence
$$a_{n+1}=a_n+ b_n a_{n-1}$$
où $(b_n)$ est une suite de nombres complexes.
Je souhaite déterminer un équivalent asymptotique de $|a_n |$. On sait faire lorsque la suite $(b_n)$ est constante mais sinon, quelle méthode peut-on employer ?

Je pensais considérer la suite de matrices $\begin{pmatrix}1& b_k \\ 1&0 \end{pmatrix}$ et le produit des $n$ premiers termes mais ensuite je ne vois pas trop quoi faire. J'ai aussi essayé de trouver une équation faisant intervenir la série génératrice mais mais sans succès.

Je ne suis pas à la recherche d'une méthode générale (enfin si cela existe je prends

) mais d'un exemple non trivial dont je pourrais m'inspirer.

Dernière précision, si cela peut aider, dans mon cas spécifique, la suite $(b_n)$ est de module 1 et ne prend qu'un nombre fini de valeurs.

Merci beaucoup,
Bruno

bs · January 2009

Bonjour,

Dans l'énoncé exact que tu as eu au Technische Universität , on ne parle pas de rotation ?

Cordialement.

brux · January 2009

Je te remercie pour ta réponse. Il ne s'agit pas d'un exercice que l'on m'a donné.
J'aboutis à cette situation dans le cadre d'une recherche personnelle.
Ma matrice n'est pas une rotation il me semble, mais peut-être comprends-je mal le sens de ta question.
En fait, voilà ce que je me dis : lorsque b_n est constant, le comportement asymptotique de |a_n| est relié au spectre de la matrice (1, b ; 1, 0) il me semble. Dans le cas général, peut-on tenir un raisonnement voisin... ? Désolé c'est assez flou.

Bruno

Richard André-Jeannin · January 2009

Il me semble qu'il existe un théorème de Poincaré sur le comportement des suites de la forme: u(n)=c(n)*u(n-1)+d(n)*u(n-2)

brux · January 2009

Effectivement, merci ! J'ai trouvé ce document sur internet, je le mets en ligne pour ceux qui étaient intéressés par la question. Dans mon cas la suite b_n n'est pas convergente, mais cela me donne une piste intéressante de travail.

Bruno

brux · February 2009

C'est curieux, en dépit de mon dernier message, le post n'est pas remonté.

Je souhaitais juste ajouter que j'ai redécouvert, grâce à bs, que la multiplication par un complexe de module 1 correspondait à une rotation : on en fait de ces découvertes parfois...

Merci à bs et Richard André-Jeannin.

Bruno

B......t · February 2009

Il y a quelque chose qui s'approche de cette question si les b(k) prennent leurs valeurs aléatoirement:

http://www.emis.de/journals/JIS/VOL10/Rittaud2/rittaud11.pdf

maintenant si b(n) est périodique il me semble qu'on doit pouvoir démontrer que la croissance de: a(n)=a(n-1)+b(n)a(n-2) est exponentielle. Si par exemple

b(n)=(1,-1,i,1,-1,i,...) alors:

a(3n)=a(3n-1)+a(3n-2)
a(3n+1)=a(3n)-a(3n-1)=a(3n-2)
a(3n+2)=a(3n+1)+ia(3n-2)=(1+i)a(3n-2)

et le vecteur v(n)=(a(3n),a(3n+1),a(3n+2)) = M*v(n-1) où M est une matrice 3x3.

brux · February 2009

Effectivement B...t, j'ai trouvé ça aussi hier, je veux dire pour le cas où b(n) est périodique ! Dans mon cas en fait je sais que c'et périodique mais je ne connais pas la période et j'ai besoin d'obtenir un renseignement sur la valeur propre de plus grand module de la matrice M. Mais là interviennent les éléments spécifiques de mon problème.

Bruno

brux · February 2009

C'est drôle, je viens de jeter à un coup d'oeil à ta pièce jointe, et le problème que je considère fait justement intervenir la suite de Fibonacci mais dans un autre contexte.

bruno

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