Problème d'intégrale
Bonjour à tous, j'ai un problème avec cette intégrale
A=inte(0,infini) ln(x) / (x^2+1)^2 dx
Je pose f(z)=(ln(z))^2/(1+Z^2)^2
Je trouve que f admet comme pôles i et -i
Je veux maintenant calculer le Res(f,i) et res (f,-i) je bloque pour ce calcul je trouve toujours un zéro au dénominateur.
Pouvez-vous m'aider svp
Merci
A=inte(0,infini) ln(x) / (x^2+1)^2 dx
Je pose f(z)=(ln(z))^2/(1+Z^2)^2
Je trouve que f admet comme pôles i et -i
Je veux maintenant calculer le Res(f,i) et res (f,-i) je bloque pour ce calcul je trouve toujours un zéro au dénominateur.
Pouvez-vous m'aider svp
Merci
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Réponses
\[f(z) = \frac{\log^2 z}{(z+i)^2}\frac{1}{(z-i)^2}\]
et le résidu de \(f\) au pole \(i\) est le coefficient de \(z-i\) dans le développement de Taylor de \(g(z) = \frac{\log^2 z}{(z+i)^2}\) au voisinage de \(i\), c'est-à-dire \(g'(i)\).
Le calcul de \(g'\) n'est pas difficile... mais quelle est la détermination du logarithme à utiliser ?
Je trouve pour Res(f;i)= -pi/4+(pi^2/16) i et donc pour -i je prends je conjugué mais le problème quand j'applique le théorème des résidus mon intégrale vaut
-i pi et je dois trouver pi/4
cette integrale est facile a trouver en utilisant un contour dit "serrure", dont voici un image:
Je te remercie Marko
je confirme le résultat égal à -pi/4 pour l'intégrale de Moustache
je propose une solution très classique basée sur les développements en série:
on coupe l'intervalle d'intégration en [0;1] et [1;oo[
et sur la seconde intégrale on opère le changement de variable t = 1/u il vient
intégrale de 0 à 1 de (1-u²).lnu.du/(1+u²)²
or on connaît le développement : 1/(1+u²)² = 1 - 2u² + 3u^4 -.......
si on multiplie chaque membre de l'expression par (1-u²) il vient:
(1-u²)/(1+u²)² = 1 - 3u² + 5u^4 - 7u^6 + 9u^8 -.......
on multiplie par lnu et on intègre terme à terme de 0 à 1
sachant que intégrale de 0 à 1 de u^n.lnu.du = -1/(n+1)² il vient:
intégrale de 0 à 1 de (1-u²)lnu.du/(1+u²)² = -1 + 1/2 - 1/3 + 1/4 -.......
série numérique égale à -pi/4
cordialement
$$ \int_{0}^{+\infty} \; \dfrac{x^p}{(x^2+1)({(x+1)}^2} \; \mathrm dx $$ ?
This can be obtained using the residue theorem...
Bon courage
$$2I=2\int_0^{\infty}\frac{x^{a-1}dx}{(1+x)^{2}(1+x^2)}=\int_0^{\infty}\left(\frac{x^{a-1}}{(1+x)^{2}}+\frac{x^{a-1}}{1+x}-\frac{x^{a}}{1+x^2}\right)dx.$$If $0<a<1$ we use $\int_0^{\infty}\frac{x^{a}}{1+x^2}dx=\frac{1}{2}\int_0^{\infty}\frac{u^{(a-1)/2}}{1+u}du=\frac{1}{2}B((1+a)/2,(1-a)/2)$ and we get (up to some mistakes of my own)
$$2I=B(a,2-a)+B(a,1-a)-\frac{1}{2}B((1+a)/2,(1-a)/2)=\frac{(2-a)\pi}{\sin \pi a}-\frac{\pi}{2\cos \pi a/2}.$$ For $1\leq a<4$ careful integrations by parts seem necessary in order to get again converging Eulerian integrals...