topologie et dimension finie
dans Analyse
Bonjour,
J'ai vu dans un livre aujourd'hui que sur un espace vectoriel de dimension finie, il existe une unique topologie sur cet ensemble qui en fasse un espace vectoriel topologique localement compact. Je connait le théorème de Riesz mais j'ai du mal à voir que Riesz implique ce résultat.
Merci
J'ai vu dans un livre aujourd'hui que sur un espace vectoriel de dimension finie, il existe une unique topologie sur cet ensemble qui en fasse un espace vectoriel topologique localement compact. Je connait le théorème de Riesz mais j'ai du mal à voir que Riesz implique ce résultat.
Merci
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Réponses
Soit $E$ un ev de dim finie sur un corps $K$ (tu n'as pas précisé)
Soit $e$ un élément de $E$ et soit $F$ un sev de $E$ tel que $E$ est somme directe de $F$ et $Ke$
Soit $T_1;T_2$ 2 topologies sur $E$ telles que blabla.
Soit $U$ un voisinage de $0$ pour $T_1$.
Soit $L$ un voisinage de $0$ dans $K$ et $U'$ un $T_1$ voisinage de $0$ dans $E$ tel que $Le+U'\subseteq U$
Il existe un voisinage $V$ de $0$ pour $T_2$ tel que $F\cap U'=F\cap V$
Brouillon d'inspiration ANS:
soit $z$ superproche de $0$ pour $T_2$. On veut prouver que $z\in U$.
$z$ s'écrit (de manière unique) $xe+w$ avec $w\in F$ et $x\in K$
soit $V'$ un $T_2$ voisinage compact (standard) de $0$ tel que $V'\subseteq V$
$x$ est superproche de $0$ dans $K$ (topologie donnée une bonne fois pour toute sur $K$) et que $w\in V'$. Par conséquent, il existe un élément standard $b$ de $V'\cap F$ tel que $b$ est $T_2$ superproche de $w$ et donc $w+xe=z$ aussi.
Si $w\notin U'$ alors $b\notin U'$, donc $b\notin V$ et donc $b\notin V'$ contradiction.
donc $w\in U'$ et donc $z=w+xe\in (U'+Le)\subseteq U$
Remarque: j'ai utilisé que $F$ est $T_2$ fermé.
Je te laisse transformer ça en preuve classique.
Une toute autre question (2) est de savoir si 2 topologies sur $K$ localement compact et séparées et ayant toutes les propriétés qu'on attend par rapport aux opérations de $K$ sont toujours égales. Etait-ce pour cela que tu avais précisé "loc compact"? Si oui, ta question n'avait pas de sens, puisque pour parler d'un evt, il faut d'abord avoir fixé une topologie sur $K$ pour pouvoir dire que l'opération externe est continue.
Une manière de la reformuler est (2) ci-dessus.
J'ai un peu la flemme de revisiter toutes les définitions des evt...
On veut une topologie sur $K$ telle que les opérations de $K$ soient continues, et on veut une topologie sur $E$ telle que les opérations sur $E$ soit continues ainsi que $(x,u)\to xu$ de $K\times E$ dans $E$
Il y a plusieurs questions différentes, selon qu'on fixe la topologie de $K$ dès le départ ou non (même si tout est séparé).
J'y regarderai de plus près un jour, mais pas ce soir. Les cas habituels étant triviaux (complets, loc compact, normés), ça doit concerner des corps inusuels.
Donc j'ai dit une connerie au post d'avant en disant qu'il n'y besoin de rien, faut quelque chose en plus de juste fixer la topologie de $K$
Mais je ne sais pas si Schwartz a la même définition que Boubaki, et comment il parle du corps...
Bah oui. Faut lire aussi juste un poil plus haut...
En attendant, c'est d'une chienlit ces histoires d'EVT, parce que l'idéal ce serait de prouver tout ce qu'on dit pour trancher... A vrai dire le cas normé, comme je disais étant archi traité, sans norme (sur K) le mot "complet" ne veut rien dire, reste la preuve avec loc compact
Ahah, une idée d'avatar séduisante.
Il y a une structure uniforme sur tout groupe topologique.
Bravo pour l'avatar, comment fais- tu la bulle, à la main ou avec un logiciel tout fait?
Sinon, oui pour la structure uniforme, mais je n'ai d'idée de preuve que dans le cas localement compact. Je ne suis pas sûr que le théorème soit vrai pour un corps complet quelconque pour la structure uniforme, si elle ne provient pas d'un métrique.
En effet, la façon dont je prouve par exemple, que si $xe_1+ye_2$ est $T_1$ superproche de $0$ alors il 'est aussi modulo $T_2$ passe plus ou moins nécessairement par le fait de pouvoir dire qu'il est superproche de quelque chose de standard modulo $T_2$,
Par ailleurs, il me semble de dans la def des EVT Schwartz met que pour tout $u\in E: u/n$ tend vers $0$ quand $n \to \infty$, mais sans cette propriété, ça ne semble pas facile de s'y retrouver.
J'énonce donc un étape simplifiée:
$K$ est supposé complet à savoir que tout ultrafiltre $U$ de Cauchy*** converge,
***(ie que pour tout voisinage $V$ de $0_K$, il existe $x\in K$ tel que $x+V\in U$)
Soit $E$ un ev de dimension 2 et $e_1,e_2$ une base. On munit $E$ de 2 topologies $T_1;T_2$ d'EVT sur $K$ (muni de sa topologie donnée). On suppose que $W$ est un ultrafiltre de $E$ qui contient tous les $T_2-$voisinages de $0$.
Question: $W$ contient-il tous les $T_2-$voisinages de $0$?
Dans la preuve que j'ai donnée au début du fil, j'utilise que les 2 $T_i$ sont loc compactes, et je n'ai pas justifié qu'il existe un hyperplan fermé.
Soit donc $e$ une base de $E$, $T_i$ les 2 topologies.
Soit $W$ un ultrafiltre qui contient tous les $T_1$voisinages de $0$
Soit $V$ un T2voisinage de $0$
But: prouver que $V\in W$ sans utiliser de locale compacité
On peut supposer $V$ convexe (pourquoi? Parce que j'ai la flemme d'envisager l'alternative... )
On peut supposer $V$ fermé, là pas de problème...
Soit $W'$ l'ultrafiltre de $K^2$ canoniquement associé à $W$ via $e$, ie l'ensemble des parties $A$ de $K^2$ telle que l'ensemble des $xe_1+ye_2$ pour $(x,y)\in A$ est dans $W$
On regarde les 2 projections $W'_i$ de $W'$, et l'une au moins d'entre elles n'a pas comme limite $0_K$.
C'est là qu'il y a un tout piti problème: si chaque $W'_i$ était un ultrafiltre de Cauchy, l'affaire serait réglée facilement (on obtiendrait la non séparation de $E$)
De même, si $K$ est loc.compact, me semble-t-il, ou ordonné complet (car on divise la composante la plus petite par l'autre), mais juste complet on rencontre le problème que l'une des projections est peut-être infinie AAAAAAhhhh mais non, que je suis bête lol,
On divise l'une des composante par l'autre de sorte que l'une des 2 vaut $1$
Tssss, bin oui, mais en quoi l'autre serait-elle de Cauchy???
Bref... A suivre lol
Pour la bulle : ComicLife sur Mac. Très rigolo.
Et pour l'avatar, j'adopte ?
Ca ira avec ton style expéditif: "mais monsieur, il y a des passants, je ne peux pas tirer, quels sont les ordres? - tirez"
Pour les EVT, je m'en doutais, notre monde mathématique manque de magie, on n'y trouve à posteriori que ce qu'on y met à priori comme dirait Kant