équation fonctionnelle ou différentielle
Réponses
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- Tu peux aussi te rabattre sur un vieux fil pour en faire un oeuf.
Ah, je l'avais oublié celui-là. Sans doute à cause d'un fatal picard problème... -
Salut,
Je vous propose un debut de construction des solutions:
On suppose que $a$ est un réel non nul.
Si $f$ est Solution et de classe $C^1$ il est alors clair
que $f$ est de classe $C^\infty$.
Posons $g(t) = f(at)$, si $f$ est solution sur $R$ alors
$$g'(t) = af'(at) = af(a(t+1)) = ag(t+1)$$
il "suffit" donc de savoir resoudre l'equation en $g$.
On note que $g$ doit verifier $g^{(n)}(0) = a^n g(n)$.
Soit $g_0$ fonction de classe $C^\infty$ sur $]-1,0]$ ayant une
limite à droite en $-1$ et tel que la dérivée à droite en $-1$ soit $ag_0(0)$.
Pour la suite on verra qu'on devra aussi supposer $g_0^{(k+1)}(-1^+) = a g_0^{(k)}(0)$
Posons $g_1$ définie sur $]-2,-1]$
par $g_1(t) = g_0(-1) + a\int_{-1}^t g_0(t+1) dt = g_0(-1) - a\int_{t+1}^0 g_0(x) dx$
On a $g_1'(t) = a g_0(t+1)$. La dérivée à gauche en $-1$
de $g_1$ vaut $ag_0(0)$ donc en recollant $g_1$ et $g_0$ on obtient
une fonction $C^1$ en $-1$ et la dérivée à droite en $-2$ de $g_1$
vaut $ag_0(-1^+)$ et $g_1$ a bien une limite à droite en $-2$.
Par récurrence, pour $n\geq 0$, ayant construit $g_k(x)$ sur $]-(k+1);-k]$
pour tout $k$ entre $0$ et $n$ de sorte qu'en les recollant on ait une
fonction $C^1$ sur $]-(n+1);0]$ ayant une
limite à droite en $-(n+1)$ et que la dérivée à droite en $-(n+1)$
soit $a$ multiplié par la valeur en $-n$ de la fonction,
on défini alors $g_{n+1}$ sur $]-(n+2);-(n+1)]$ par
$$g_{n+1}(t) = g_n(-(n+1)) - a\int_{t+1}^{-n} g_n(x) dx$$
Elle a bien une limite à droite en $-(n+2)$
et on a $g_{n+1}'(t) = ag_n(t+1)$, l'hypothese
de dérivée a droite est encore bien vérifiée.
Maintenant construisons $g_{-1}$ sur $]0;1]$
tel que $g_{-1}(t) = a^{-1}g_0'(t-1)$
On a alors que $g_{-1}(0^+) = a^{-1}g_0'(-1^+) = g_0(0)$ par hypothèse
et $g_{-1}'(0^+) = a^{-1}g_0''(-1^+) = a^{-1}ag_0'(0) = ag_{-1}(1)$
Par récurrence déscendante on construit $g_{-n}$.
La question reste donc de savoir comment construire $g_0$
vérifiant $g_0^{(k+1)}(-1^+) = a g_0^{(k)}(0)$.
A mon avis on doit pouvoir imposer les dérivées n-iemes
qu'on veux a chaque extremité, par exemple on choisi
$g_0$ dans un voisinage de $-1$, de sorte qu'avec la relation ci-dessus
on puisse definir a fonction au voisinage de 0 par sa serie de taylor et
entre les deux on recolle avec une fonction $C^\infty$ à support compact,
mais ca reste à preciser.
A+
eric -
Merci Eric, ça m'en fait de la lecture...
ev, sniif, tu ne goutes pas ma cuisine du terroir fonction $f ^*$ et quand le domaine de $f ^*$ est $\R$ tout entier, on dit que $f$ est $U$--dérivable sur $\R$
Question1: existe-t-il un nombre $a>1/e$ et une fonction $f$ qui est $U$-dérivable sur tout $\R$, qui est strictement croissante et telle que $\forall x\in \R: f^*(x)=f(x+a)$
Et les autres questions déjà posées précédemment à propos de dérivée sont abordables aussi dans ce cadre.
Pour remarque, qui a des outils puissants à faire tourner (distributions, Fourier, etc), peut-être pourrais-tu obtenir une preuve élémentaire que:
(je reviens à la dérivée normale): si $f$ est périodique et si $x\to f'(x)=x\to f(x+a)$ alors $a$ est un multiple entier de $\pi$??? (Pour l'instant ce n'est que conjecturé ici, assez empiriquement...Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
Bonjour à tous,
L'équation g '(t) = ag(t+1) était le sujet du Concours Mines-Ponts en 1994.
Je vous joins le sujet en PDF.
Thierry Guitard, prof en Spéciales, m'a communiqué le sujet et donné un corrigé complet
que je vous joins aussi.
Vous trouverez les réponses à toutes vos questions.
-
Waouuuuh, merci, et bé je saute immédiatement dessus, dommage que je n'ai pas d'imprimante, mais enfin, demain matin, je me l'imprime et le lirai pdt le bac.
Je vais le lire à l'écran, là!Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
lol jsuis fier, pour les premiers calculs de ma vie, à 43a, je n'étais pas vraiment loin d'un sujet d'école d'ingénieur B-)-
pour me faire un visuel, je retape dans ce post une correspondance entre les fonction vérifiant $f'(x)=f(x+a)$ (E) et celles vérifiant $g'(x)=bg(x+1)$ (F) puisque le devoir traite de ça:
si $g$ est comme en (F), alors soit $f:x\to g(vx)$
$f'(x)=vg'(vx)=vbg(v(x+1/v))=f(x+1/v)$ dès qu'on prend $v=1/b$, ie $a=b$
Donc en résumé: $f$ vérifie (E) avec $a$ si et seulement si $g$ vérifie (F) avec $a$ aussi...
Je l'écris bien pour me l'ancrer: Soit $a\neq 0$, et soient $f$ et $g$ telles que $\forall x:af(ax)=g(x)$
$\forall x:f'(x)=f(x+a)$ si et seulement si $\forall x: g'(x)=ag(x+1)$
Je n'ai pas tout lu encore du devoir, mais il me semble y avoir vu que pour toute fonction paire ou impaire qui marche: $2a=\pi$ ou $-\pi$
J'y retourne...Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
Bon, je fais un ptit bilan de ce fil, pour éviter aux lecteurs de lire les 3 pages entières de discussion:
1) Au départ, je voulais savoir si je pourrais m'intéresser à l'analyse** (lol là je raconte ma life). J'étais sûr que non (voir **). Cependant, il y a un truc assez mystérieux dans la vie, c'est le truc au carrefour des maths et de la physique: on peut prouver (ce qui est étonnant***) qu'on ne peut prédire(1) l'avenir (c'est de la physique, ça nous concerne, ainsi que le temps, et pourtant c'est une preuve de maths).
** non ensembliste: celle avec des développements de Taylor, des fonctions holomorphes, différentiables, des majorations dans tous les sens. Pas celle avec de la topologie infiniste qui fait triper et ramène à l'infini et aux ensembles ou aux graphes
*** on ne peut pas prouver vraiment la conservation de l'énergie ou la gravité, ce sont soit des axiomes, soit ça s'appuie sur des axiomes, alors que (1) n'a pas tout à fait ce statut.
2) Le raisonnement mettant en jeu (1) est assez discret. L'analyse s'intéresse au continu. D'où l'idée de "continuiser" le voeu de prédire l'avenir. Alors je sais déjà qu'il n'existe pas forcément de suites telles que u(n)=f(u(n+1)), mais que si $f$ est continue, et qu'on est dans un compact alors il en existe toujours (c'est d'ailleurs comme ça que j'ai prouvé http://www.logique.jussieu.fr/~chalons/z2009/pxma1620.pdf, où ce phénomène se réalise pleinement), etc, etc, on peut multiplier les idées excitantes sur ce thème.. (voir http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?12,352935,page=1) mais je vois bien qu'en pensant à ça, je triche et je repars sur des délires ensemblistes
3) Sniiiif comment "représenter" les limites inhérentes à la "voyance" de l'avenir par une équa dif, bien dans le style "école", "programme" avec de la bonne vieille analyse???
Et bé, la question la plus naturelle qui se pose est: un voyant monte sur un vélo, et doit être suffisamment "voyant" pour pédaler à une vitesse qui està à chaque instant égale à la distance qu'il a déjà parcouru... une seconde après. C'est l'équation $f'(x)=f(x+1)$
4) Mais comme il y a le problème des unités de temps et de distance, c'est l'équation $f'(x)=f(x+a)$. A cause de Rolle on voit que $a$ ne peut dépasser 1 (sauf si le voyant fait demi-tour lol). On retrouve sous une forme détournée l'argument "antiremontée dans le tps" (tuer son géniteur)
5) Nicolas et remarque ont entamé des réflexions, mais une petite étourderie m'a d'abord un peu désillusionné (annonce qu'aucun $a>0$ ne marche) encore que non, la preuve aurait été fantastique et puissante (aucun voyant continu..., même un tout pipi peu continu)
6) Puis espoir qui renait avec des exemples simples $x\to exp(tx)$ de fonctions qui vérifient $f'(x)=f(x+(ln(t)/t))$ (simple calcul de niveau Terminale (de l'ancien temps? lol). ET un gain supplémentaire, une jolie borne, non triviale (pas un simple nombre rationnel): 1/e (max de t\to ln(t)/t)
7) Je suis fasciné par l'holomorphisme, mais... de loin (de près ça me fait un peu peur). Mouais, mais enfin, pourquoi ne pas essayer un peu de voir s'il n'y a pas de moyen de dépasser 1/e, en prenant un $t$ complexe. (Je suis quand-même au courant que les complexes offrent parfois des solutions aux équations qui n'en ont pas dans R
8) Bingo, ça marche (mais il a fallu que je souffre horriblement, de devoir me taper des souvenir de Terminales, avec du Moivre (j'espère que c'est bien Moivre... lol) et des expressions comme "partie entières", etc...
9) Tss ce résumé est narcissique et orienté, remarque, bien entendu (ainsi que ev, semble-t-il) savait (avec du matos du 20ième siècle, distributions, mesures, etc) résoudre à peu près et très vite le problème...
10) Finalement, pour tout $a>0$, il existe un nombre complexe $t$ tel que (voir post où il y a un lien vers geogebra, on le trouve "à la main") $exp(ta)=t$ et donc (c'est là que je galère car j'aime les preuves plus que les affirmations) une fonction non nulle qui marche:
10.1) Ma "galère": il y a une fonction complexe telle que pour tout x complexe $f'(x)=f(x+a)$, le nombre a est réel, donc le développement en séries entières si on l'écrit vraiment fait apparaitre que les "i" vont d'un côté et les réels de l'autre, et comme a est réel le (X+a) puissance n sera inoffensif. Morale de l'histoire la partie réelle de la restriction de f à IR marche (et elle est analytique)
11) Il semble raisonnable de penser que pour accéder aux fonctions de ce type qui DE PLUS sont périodiques, la contrainte est tellement forte (faut résoudre exp(az)=z quand-même...) que a ne peut être qu'un multiple de pi/2 (ou un truc dans le genre)
12) Daniel Saada poste un pdf d'un devoir où le problème général posé est presqu'entièrement résolu ence sens qu'il semble y être prouvé que les solutions sont forcément analytiques... Et comme analytiques--->séries entières ---> l'équation f'(x)=f(x+a) fixe tous les coefficients... C'est presque gagné
13) (mince je vais pas finir la -dessus, c'est "13")
14) Reste à voir quels sont les complexes $t$ tel que la solution de la forme x--->exp(tx) avec $exp(at)=t$ a une partie réelle bornée sur IR (on ne s'intéresse qu'aux a réels), dernier calcul:
la solution trouvée avant est de la forme x---->exp(ux)cos(vx) où u+iv est un complexe z tel que exp(za)=z
pour qu'elle soit bornée, il est recommandé d'avoir u=0. Du coup faut que exp(iva)=iv or exp(iva)=cos(va )+isin(va) et donc on doit avoir cos(va)=0 ce qui limite les possibilités à 1 ou -1 pour v et en prenant pi/2 pour a.
15) Finalement, on a 2 définitions intrinsèques de 1/e et de pi/2.
15.1: 1/e est la borne supérieure de l'ensemble des nombres a pour lesquels il existe une fonction f strictement croissante solution de x---> f'(x)=f(x+a)
15.2: pi/2 est l'unique nombre (en valeur absolue) tel qu'il existe une fonction bornée (qui est forcément périodique alors!!!) f solution de la même équation...
16) Ca rejoint les raisonnements "logiques" sur les impossibilités de la voyance: oubien, on ne peut pas voir très loin, ou bien on vit dans un monde "périodique" (où il se passe toujours la même chose*). Mais avec plus de "panache" (on gagne e et pi dans une meme definition)
* Imaginez une conversation téléphonique où chacun entend ce que lui dit l'autre 1 seconde avant...Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
Christophe a écrit:15.2: $\pi/2$ est l'unique nombre (en valeur absolue) tel qu'il existe une fonction bornée (qui est forcément périodique alors!!!) $f$ solution de la même équation...
Unique ? qu'en pense $\pi/2 + 2k\pi$ ?
amicalement,
e.v.Personne n'a raison contre un enfant qui pleure. -
oups, oui pardon, l'unique générateur de... la fonction étant périodique... ça donne aussi une définition intrinsèque de 4
Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
Mais c'est bizarre ça, car je sais prouver un autre truc à propos des voyants***: c'est qu'il en existe au plus 2
*** dans une définition "affaibli" (sinon il en existe 0): est "voyant réaliste" qui peut prévoir parfaitement l'avenir sans le révéler (mais qui peut prouver qu'il le voit)Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
Vous verrez qu'une question se pose quand on étudie la construction des solutions.
Là aussi, j'ai obtenu une réponse. -
En tout cas un re grand merci pour ces 2 pdf.
C'est assez long, mais demain j'ai du temps... Effectivement, entre autre, il ne me semble pas avoir vu dans le pdf une preuve de f solution ---> f analytique, mais seulement, f positive et f solution ----> f analytique. Donc si ça se trouve, quand on ne suppose pas f positive, c'est bcp moins facile d'être sûr que f analytique
Mais faut que je lise à peu près tout avant de reposter...Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
je suis content de vous avoir rendu service, car
moi aussi j'étais embarrasé par cette belle question. -
J'avais éteint mon PC (je me lève à 5H20..) mais je l'ai rallumé pour peut-être vous en poser une autre (mais je vais créer un autre fil, pour ne pas que ça vienne "bruiter" celle-ci) qui vient de me tracasser aussi: dans ce post je décris la motivation, mais je pose l'auter question, dans un autre fil pour que tout soit bien rangé:
n'oublions pas une chose triviale: il y a plein de voyants qui peuvent prévoir... le passé. En maths ça se traduit par pour toute fonction f, il existe une suite u telle que u(n+1)=f(u(n))
Si on procède "naivement", et qu'on extrapole trop vite "u(n+1) - u(n)" à la dérivée d'une fonction, on "s'étonne" que rien que pour le carré, demander $f'(x)=(f(x))^2$ c'est trop demander: les fonctions naturelles obtenues montent trop vite (alors que u(n+1)=u(n)² +u(n) monte "doucement")
MAIS: prenons une fonction f telle que $f(x+1)-f(x)=g(f(x))$. Par Rolle, il existe c avec $f'(c)=g(f(x)$. Mais ce qui se passe, si on admet qu'on est dans un contexte où on veut jouer avec des fonctions qui montent très vite, c'est que le c en question sera proche de... f(x+1) et non pas de f(x)!!!!
D'où la question: pour toute fonction $g$, même qui montent de manière hallucinante, existe-t-il une fonction $f$ telle que $\forall x: f'(x+1)=g(f(x))$
Je vais créer un fil spécfique (et la poser proprement) et mettre un lien vers ici et de même mettre un lien d'ici vers le fil au prochain post...Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
Soit $g$ une application continue de $\R$ dans $\R$ (éventuellement supposons qu'elle est croissante)
Existe-t-il forcément une fonction $C^1$ de $\R$ dans $\R$ (éventuellement croissante aussi) telle que pour tout $x\in \R$:
$f'(x+1)=g(f(x))$?Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
Voilà le lien vers une formulation formelle:
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,523681
Bonne nuit, à demain
[Plutôt qu'un lien, mettons ta formulation formelle directement dans la discussion. AD]Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
Voir cet autre fil pour les motivations générales.
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,521494,page=4Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
A bien y réfléchir, ça ne me satisfait pas énormément cette question, car si f monte très vite, f' monte encore plus vite et donc il faudrait "brider" f par rapport à une h à laquelle on demanderait h(x+1)=g(h(x)) (qui existe toujours, mais y en a-t-il toujours qui soient "régulières"?? (Analytiques, C infini...)
Une manière plus "honnête" de vouloir passer des suites aux fonctions (avec la différence mentionnée au post page4 de l'autre fil en lien) serait de demander la chose suivante (ça risque d'être un peu lourd...)
$g$ est donnée au départ (quelconque, mais disons continue et croissante);
On veut $T:\R\to (\R \to \R)$, autrement dit de $\R^2 \to \R$ ;
avec $T(a+b)=T(a) o T(b)$ pour tous a,b positifs
$T(1)=g$ et $T(0)=identite$
Et on demande que la limite quand $h\to 0^+$ de $(T(h)(f(x))-f(x))/h$ existe et vaille $f'(x)$ pour tout $x$
Je poste et reformule proprement au post suivant, en termes de fonctions de 2 variablesAide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
Je vais réfléchir à une formulation plus légère plutôt (au dodo, dans le noir... la nuit porte conseil)Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
-
Salut,
A mon avis, le principe de la construction que j'ai proposé (qui comme par hasard
correspond a la partie III du problemes des mines) dans ton autre post
ou $g$ est lineaire, reste a mon avis valable, mais le recollement
aux bords de chaque intervalle de longueur 1
devient plus delicat (et peut etre pas toujours possible).
A+
eric -
AD ne veut pas de multiplication des fils... (je ne veux pas polluer ce fil avec d'autres questions, l'initiale étant déjà bien consistante)
J'ai pu imprimer les pdf seulement hier après midi, pas encore lus par contre.
Eric, il est vrai que dans $\R$, la différence de souplesse est assez grande entre C infini et analytique,
Ici, j'ai plus l'impression qu'on enquête sur des nombres que sur des fonctions (les fonctions sont variables liées et donnent surtout des nombres (1/e; pi/2; 4)... )
Dans le cas présent, il me semble que de toutes façons, (au moins pour les strictement croissantes), la borne "1/e" est assez robuste, dans le sens suivant:
soit $U$ un ultrafiltre sur $\R^{*+}$ et la seule chose qu'on lui demande est que pour tout $s>0$ l'intervalle $]0;s[\in U$
En fait ici $U$ représente un réel infiniment petit positif non nul
soit $a$ un réel et $f$ une fonction strictement croissante telle que pour tout $x$ la limite de l'ultrafiltre $V_x$ défini ci-dessous est $f(x+a)$
conjecture: $a\leq 1/e$
$V_x$ est l'ensemble des parties $B$ de $\R$ telles que pour presque tout $h$ modulo $U: (f(x+h)-f(x))/h\in B$ où l'expression "pour presque tout h modulo U, R(h)" signifie que l'ensemble des $h$ tels que $R(h)$ appartient à $U$
Si cete conjecture est vraie, ce serait vraiment intéressant car, les ultrafiltres ont une propriété de compacité assez extraordinaire:
si, on a un problème de maths, à peu près n'importe lequel, où tous les ultrafiltres "échouent" (par exemple, ci-dessus, à "construire" un nombre supérieur à 1/e) à réussir quelque chose et que cet échec est exprimable sous la forme suivante:
à chaque ultrafiltre sur $E$, il existe un ensemble $A_U\in U$ qui témoigne de cet échec de $U$
alors il existe un ensemble fini $F$ tel que la réunion$pour\ _{U\in F}$ des $A_U$ est l'ensemble $E$ tout entier.
L'inconvénient est qu'il n'est pas toujours facile de mettre le truc sous cette forme..Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
Décidément en ce moment 1/e me fascine...
En fait, les fonctions convexes ont certaines propriétés de compacité à la Ascoli. Il s'ensuit, que non seulement on a la borne 1/e, mais en plus:
Pour tout $a>1/e$, il existe un $M_a> 0 $ tel que toute fonction convexe, croissante et dérivable de $\R ^+$ dans lui-même a la propriété qu'il existe $x\leq M_a$ avec $f'(x)\neq f(x+a)$
Se pose donc la question d'évaluer la borne inf (que j'appelle encore $M_a$), pour $a$ fixé, des $M_a$ possible, et de se demander si la suite $n\to M_{1/e+1/n}$ est intéressante (enfin, oui, forcément, elle le sera...).
(pour le prouver, il suffit de relire les posts juste avant avec les histoires d'ultrafilres (sans eux, ce serait assez pénible..)Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
A noter que pour chaque $a>1/e$ le $M_a$ défini au post d'avant a surement la propriété qu'il existe une fonction croissante définie sur $I:=[0;M_a[$ et telle que:
$\forall x\in I$, $f'x)=f(x+a)$ ou $x+a\notin I$. De plus, $f$ tend vers $+\infty$ en $M_a ^-$Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
D'ailleurs, ça n'a pas l'air si simple de construire une fonction croissante telle que $\forall x:f'(x)>f(x+1/e)$Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
-
On peut même se risquer à une conjecture : pour toute fonction dérivable, il existe $x$ tel que $f'(x)\leq f\big(x+\frac{1}e\big)$
A réfléchir à toutes ces limitations intrinsèques, je suis entrain de me demander un truc du même genre :
Existe-t-il une fonction $\mathcal C^\infty$ qui croit plus vite que toute fonction analytique???
Il n'a pas l'air évident que non (question volontairement polymorphe : domaines de def non précisés, etc, plusieurs questions en une)
[La case LaTeX. AD]Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
D'ailleurs, ça n'a pas l'air si simple de construire une fonction croissante telle que $\forall x:f'(x)>f(x+1/e)$
Il me semble que c'est impossible, en passant par la fonction $g$ que tu avais introduite il y a quelques pages et la tour des puissances infinie... -
Merci, je vais y réfléchir par écrit, car là les hypothèses sont plus faibles. Plus rien n'est constant, il se peut très bien (à priori... dans ma tête matinale là ) que la fonction $f:x\to exp(g(x))$ soit telle que $g(x) /ex\to 1$.
Donc ça me fait quelques calculs (au moins) supplémentaires (et comme ça me demande tjs 2 ou 3H..)Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
Exact, j'ai mal lu et ce n'est pas si clair.
-
Pour faire, infinitésimalement, avancer le schmilblique, on note d'abord que si $f$ est croissante mais pas positive, il n'y a pas de problème d'existence. Tout fonction négative croissante convient. Si on veut une fonction qui change de signe, $x\mapsto e^{ex-e^{-ex}}-e$ convient (sauf erreur de calcul).
Si maintenant $f$ est positive, on peut écrire $f(x)=h(x)e^{ex}$ avec $h$ positive. L'inégalité voulue devient
$$h'(x)>\frac{h\Bigl(x+\frac1e\Bigr)-h(x)}{\frac1e}.$$
Toute fonction strictement concave satisfait cette relation, mais il n'y a pas de fonction strictement concave et positive sur $\R$. Donc on peut se demander si une fonction $h$ telle que $h'(x)>\frac{h(x+a)-h(x)}{a}$ pour un certain $a>0$ et pour tout $x$ est concave... je vois mal comment elle ne pourrait pas l'être, mais ça ne prouve pas grand chose. -
MERci remarque
digression microscopique:
je m'étais posé la question suivante:Existe-t-il une fonction $\mathcal C^\infty$ qui croit plus vite que toute fonction analytique???
il y a 4 posts.
J'ai eu la réponse par un pote inégalable, le même qui m'avait déjà résolu plein de problèmes:
La réponse est NON
Soit $u$ un suite de réels: but construire une fonction analytique $f$ telle que $f(n)>u(n)$ pour tout n.
On prend une famille de fonctions $g_n=x\to a_nexp(b_n(x+c_n))$ de sorte que:
1) $g_n(n)>u(n)$
2) Pour chaque $x\in \R$ la somme infinie des $g_n(x)$ converge vers $h$. C'est assez facile de choisir $a,b,c$ ainsi, car l'avantage de l'exponentielle c'est qu'elle monte très vite vers la droite et s'écrase d'autant plus vite vers la gauche qu'elle ne monte vers la droite.
la fonction $h$ est analytique et convient.Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
Le gars qui m'a filé cet argument est le même que celui que j'ai appelé "roi du contre-exemple" dans le lien
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?14,442784,443271#msg-443271
Comme quoi, là il s'agit aussi d'un roi pour prouver les énoncé $\forall x...$ Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
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