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Analyse complexe

Envoyé par slim 
Analyse complexe
il y a onze années
Bonjour, pouvons nous résoudre cet exo sans utiliser le prtit théorème de Picard svp merci :

Soit g une fonction entière tel que g(z+1)= i g(z). Montrer que g a un point fixe
ccc
Re: Analyse complexe
il y a onze années
Bonjour
Juste une remarque : ta fonction est périodique de période 4
si ça peut t 'aider
Re: Analyse complexe
il y a onze années
Oui merci c'est avec ça et le petit théorème de Picard qu'on conclut qu'elle a un point fixe mais je veux une autre méthode sans Picard.

[Même si tu refuses son théorème, tu ne peux lui refuser sa majuscule ! AD]



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a onze années et a été effectuée par AD.
ccc
Re: Analyse complexe
il y a onze années
si g(z)-z ne s'annule pas alors 1/(g(z)-z) est holomorphe bornée donc constante par le theoreme de Liouville ?
Re: Analyse complexe
il y a onze années
merci mais pourquoi est elle bornée?
Re: Analyse complexe
il y a onze années
avatar
Sur quel ensemble travailles-tu ?

Le café est un breuvage qui fait dormir,
quand on n’en prend pas.
-+- Alphonse Allais -+-
PB
Re: Analyse complexe
il y a onze années
avatar
Citation

Sur quel ensemble travailles-tu ?
Une fonction *entière* c'est une fonction holomorphe sur C, par définition smiling smiley
Re: Analyse complexe
il y a onze années
la_bas_si_j_y_suis_pas_logué
Re: Analyse complexe
il y a onze années
Mais pourquoi donc est-elle si bornée?
je vais essayer de te répondre smiling smiley
$g$ est bornée car périodique, donc il y a fort à parier que le module de $g(z)-z$ atteigne son minimum et donc que $1/{g(z)-z}$ soit borné.
Re: Analyse complexe
il y a onze années
merci mais pas assez convaincu je le vois graphiquement (comme la courbe du sinus ) mais sans plus dsl
ccc
Re: Analyse complexe
il y a onze années
Les seules singularités que peut avoir 1/(g(z)-z) sont des pôles (car g(z)-z est holomorphe).
Or les pôles de 1/(g(z)-z) sont les zéros de g(z)-z.
Donc si g(z)-z est sans zéro alors 1/(g(z)-z) est bornée sur tout compact de C et tend vers 0 en l'infini.
Sauf erreur.
Re: Analyse complexe
il y a onze années
avatar
bonjour $f(z)=\exp(z)$ est sans zéro mais $1/f(z)=\exp(-z)$ n'est pas bornée.
ccc
Re: Analyse complexe
il y a onze années
Bonjour Gilles
g(z) est périodique bornée.
Re: Analyse complexe
il y a onze années
pourquoi bornée justement merci
ccc
Re: Analyse complexe
il y a onze années
g ,étant holomorphe sur C, ne peut être bornée car sinon elle serait constante par le théorème de Liouville.
je retire donc ce que j'ai dit.
désolé :S
Re: Analyse complexe
il y a onze années
avatar
$\exp z$ est périodique également...
Re: Analyse complexe
il y a onze années
Comme fonction satisfaisant à $g(z+1)=i\,g(z)$, on peut prendre par exemple
$$g(z)=e^{\frac{1}{2}\,i\,\pi\,z} =e^{\frac{1}{2}\,i\,\pi\,(x+iy)} = e^{-\frac{1}{2}\,\pi\,y}\,e^{\frac{1}{2}\,i\,\pi\,x}$$
Dans cet exemple, $g$ n'est pas bornée sur $\C$.

Mais elle ne pouvait pas l'être comme l'a fait remarquer ccc !...

Il serait bien d'exhiber un point fixe pour cet exemple.
Re: Analyse complexe
il y a onze années
avatar
joli dialogue de sourds
PB
Re: Analyse complexe
il y a onze années
avatar
Citation

joli dialogue de sourds
Oui, il y en a qui semblent être persuadés que périodique (et continue) implique bornée.
En fait, pour une fonction continue sur C ce qu'on peut dire c'est : si son groupe de périodes est de rang 2 alors elle est bornée.

Mais ça n'aide pas pour l'exercice...
Re: Analyse complexe
il y a onze années
Pour l'exemple que j'ai considéré ci-dessus, il semble que l'on ait comme point fixe approximativement
$$a = 0.4382829367270321116269751636 + 0.3605924718713854859529405269*I$$
De plus pour tout $x\in\R$, la suite $g^{(n)}(x)$ semble converger vers $a$ !...
Re: Analyse complexe
il y a onze années
bon apparemment sans Picard l'exo est infaisable merci
Re: Analyse complexe
il y a onze années
"sans Picard l'exo est infaisable"

Alors comment fera-t-on quand la Picardie sera supprimée ?
Re: Analyse complexe
il y a onze années
Une recherche sur google montre en fait que le point fixe $a$ indiqué précédemment est égal à la tour des puissances de $i$ :
$$a=i^{i^{i^{i^{i^{i^{i^{i^{i^{i^{\cdots}}}}}}}}}}$$
Re: Analyse complexe
il y a onze années
Citation
slim
bon apparemment sans Picard l'exo est infaisable merci

Il ne faut pas se fier aux apparences !
Re: Analyse complexe
il y a onze années
Bonjour

jpdx, ta valeur approximative ( je pense que tu le sais :) ) est lié à la fonction W de Lambert.

source : [www.research.att.com]
Re: Analyse complexe
il y a onze années
Oui, ma recherche sur google me l'avait indiqué ! Il suffit de faire une recherche avec google sur la partie réelle ou la partie imaginaire de $a$, en prenant par exemple 8 décimales...
Re: Analyse complexe
il y a onze années
merci a tous ,je me suffis de la démo avec le petit théorème de Picard qui se fait en 3 lignes,l'alternative n'est pas si courte ni claire
Re: Analyse complexe
il y a onze années
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