Mais pourquoi donc est-elle si bornée?
je vais essayer de te répondre :-)
$g$ est bornée car périodique, donc il y a fort à parier que le module de $g(z)-z$ atteigne son minimum et donc que $1/{g(z)-z}$ soit borné.
Les seules singularités que peut avoir 1/(g(z)-z) sont des pôles (car g(z)-z est holomorphe).
Or les pôles de 1/(g(z)-z) sont les zéros de g(z)-z.
Donc si g(z)-z est sans zéro alors 1/(g(z)-z) est bornée sur tout compact de C et tend vers 0 en l'infini.
Sauf erreur.
Comme fonction satisfaisant à $g(z+1)=i\,g(z)$, on peut prendre par exemple
$$g(z)=e^{\frac{1}{2}\,i\,\pi\,z} =e^{\frac{1}{2}\,i\,\pi\,(x+iy)} = e^{-\frac{1}{2}\,\pi\,y}\,e^{\frac{1}{2}\,i\,\pi\,x}$$
Dans cet exemple, $g$ n'est pas bornée sur $\C$.
Mais elle ne pouvait pas l'être comme l'a fait remarquer ccc !...
Il serait bien d'exhiber un point fixe pour cet exemple.
Oui, il y en a qui semblent être persuadés que périodique (et continue) implique bornée.
En fait, pour une fonction continue sur C ce qu'on peut dire c'est : si son groupe de périodes est de rang 2 alors elle est bornée.
Pour l'exemple que j'ai considéré ci-dessus, il semble que l'on ait comme point fixe approximativement
$$a = 0.4382829367270321116269751636 + 0.3605924718713854859529405269*I$$
De plus pour tout $x\in\R$, la suite $g^{(n)}(x)$ semble converger vers $a$ !...
Une recherche sur google montre en fait que le point fixe $a$ indiqué précédemment est égal à la tour des puissances de $i$ :
$$a=i^{i^{i^{i^{i^{i^{i^{i^{i^{i^{\cdots}}}}}}}}}}$$
Oui, ma recherche sur google me l'avait indiqué ! Il suffit de faire une recherche avec google sur la partie réelle ou la partie imaginaire de $a$, en prenant par exemple 8 décimales...
Réponses
Juste une remarque : ta fonction est périodique de période 4
si ça peut t 'aider
[Même si tu refuses son théorème, tu ne peux lui refuser sa majuscule ! AD]
-- Schnoebelen, Philippe
je vais essayer de te répondre :-)
$g$ est bornée car périodique, donc il y a fort à parier que le module de $g(z)-z$ atteigne son minimum et donc que $1/{g(z)-z}$ soit borné.
Or les pôles de 1/(g(z)-z) sont les zéros de g(z)-z.
Donc si g(z)-z est sans zéro alors 1/(g(z)-z) est bornée sur tout compact de C et tend vers 0 en l'infini.
Sauf erreur.
g(z) est périodique bornée.
je retire donc ce que j'ai dit.
désolé :S
$$g(z)=e^{\frac{1}{2}\,i\,\pi\,z} =e^{\frac{1}{2}\,i\,\pi\,(x+iy)} = e^{-\frac{1}{2}\,\pi\,y}\,e^{\frac{1}{2}\,i\,\pi\,x}$$
Dans cet exemple, $g$ n'est pas bornée sur $\C$.
Mais elle ne pouvait pas l'être comme l'a fait remarquer ccc !...
Il serait bien d'exhiber un point fixe pour cet exemple.
En fait, pour une fonction continue sur C ce qu'on peut dire c'est : si son groupe de périodes est de rang 2 alors elle est bornée.
Mais ça n'aide pas pour l'exercice...
$$a = 0.4382829367270321116269751636 + 0.3605924718713854859529405269*I$$
De plus pour tout $x\in\R$, la suite $g^{(n)}(x)$ semble converger vers $a$ !...
Alors comment fera-t-on quand la Picardie sera supprimée ?
$$a=i^{i^{i^{i^{i^{i^{i^{i^{i^{i^{\cdots}}}}}}}}}}$$
Il ne faut pas se fier aux apparences !
jpdx, ta valeur approximative ( je pense que tu le sais
source : http://www.research.att.com/~njas/sequences/A077589