Convergence de 1/ n sin n
Bonjour,
Je sais que la suite $ \dfrac{1}{n \sin n}$ diverge.
Est-ce que pour tout $k > 0$ la suite $ \dfrac{1}{n^k \sin n}$ diverge ?
En fait si on choisit bien $\alpha$ et que l'on considère la suite $ \dfrac{1}{n^k \sin (\pi \alpha n)}$, alors elle diverge pour tout $k > 0$
Ma question, peut donc se reformuler ainsi : peut-on choisir $\alpha = 0$ ?
Merci !
Je sais que la suite $ \dfrac{1}{n \sin n}$ diverge.
Est-ce que pour tout $k > 0$ la suite $ \dfrac{1}{n^k \sin n}$ diverge ?
En fait si on choisit bien $\alpha$ et que l'on considère la suite $ \dfrac{1}{n^k \sin (\pi \alpha n)}$, alors elle diverge pour tout $k > 0$
Ma question, peut donc se reformuler ainsi : peut-on choisir $\alpha = 0$ ?
Merci !
Réponses
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Bonsoir Marce,
il doit y avoir un problème dans ta reformulation. Avec $\alpha=0$ ton dénominateur est nul ... -
Oui pardon.
Je pensais à $\alpha = 1/ \pi$ -
bonjour
la suite numérique de terme général 1/n est monotone décroissante convergente vers 0
pour n différent de 0, sin(n) ne s'annule jamais puisque n n'est jamais un multiple de pi
la suite numérique de terme 1/sin(n) alterne de signe régulièrement (3 termes positifs, 3 termes négatifs)
dans ces conditions 1/sin(n) est convergente vers 0 (convergence explosive)
et le produit 1/[n.sin(n)] des termes des deux suites, converge vers 0 (alternance régulière des signes)
la suite de terme 1/[n^k.sin(n)] sera elle-même convergente vers 0 pour k positif, négatif ou nul
(puisque 1/n^k est suite monotone)
la suite de terme 1/[n^k.sin(pi.a.n)] sera convergente vers 0 pour a non-entier relatif et k positif, négatif ou nul
si a est entier relatif alors la suite n'existe pas
cordialement -
Marce : par curiosité, comment sais-tu que la suite $\frac1{n\sin n}$ diverge ? Des approximations rationnelles de $\pi$ ? Parce que numériquement, ce n'est clair ni dans un sens, ni dans l'autre.
-
Ci-joint quelques expériences numériques auxquelles je faisais allusion plus haut. Difficile d'en intuiter quoi que ce soit (attention aux changements d'échelle)...
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Tu parles russe, qg77 ?
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L'article de Salikhov est disponible en anglais
http://www.iop.org/EJ/article/0036-0279/63/3/L11/RMS_63_3_L11.pdf?request-id=a46a30c8-9685-4800-a633-3b26fcb302d8 -
Pour en revenir à la suite $\frac{1}{{n\sin n}}$, elle ne peut converger vers zéro...
Il me semblait bien que ça devait un truc dans ce style. Merci qg77 ! -
Combien vaut $\limsup \frac{1}{n\sin n}$ ?
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Bonjour!
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