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Convergence de 1/ n sin n

Envoyé par Marce 
Marce
Convergence de 1/ n sin n
il y a onze années
Bonjour,

Je sais que la suite $ \dfrac{1}{n \sin n}$ diverge.
Est-ce que pour tout $k > 0$ la suite $ \dfrac{1}{n^k \sin n}$ diverge ?
En fait si on choisit bien $\alpha$ et que l'on considère la suite $ \dfrac{1}{n^k \sin (\pi \alpha n)}$, alors elle diverge pour tout $k > 0$

Ma question, peut donc se reformuler ainsi : peut-on choisir $\alpha = 0$ ?

Merci !
Re: Convergence de 1/ n sin n
il y a onze années
Bonsoir Marce,

il doit y avoir un problème dans ta reformulation. Avec $\alpha=0$ ton dénominateur est nul ...
Marce
Re: Convergence de 1/ n sin n
il y a onze années
Oui pardon.
Je pensais à $\alpha = 1/ \pi$
Re: Convergence de 1/ n sin n
il y a onze années
bonjour

la suite numérique de terme général 1/n est monotone décroissante convergente vers 0

pour n différent de 0, sin(n) ne s'annule jamais puisque n n'est jamais un multiple de pi
la suite numérique de terme 1/sin(n) alterne de signe régulièrement (3 termes positifs, 3 termes négatifs)
dans ces conditions 1/sin(n) est convergente vers 0 (convergence explosive)

et le produit 1/[n.sin(n)] des termes des deux suites, converge vers 0 (alternance régulière des signes)

la suite de terme 1/[n^k.sin(n)] sera elle-même convergente vers 0 pour k positif, négatif ou nul
(puisque 1/n^k est suite monotone)

la suite de terme 1/[n^k.sin(pi.a.n)] sera convergente vers 0 pour a non-entier relatif et k positif, négatif ou nul
si a est entier relatif alors la suite n'existe pas


cordialement
Re: Convergence de 1/ n sin n
il y a onze années
avatar
Marce : par curiosité, comment sais-tu que la suite $\frac1{n\sin n}$ diverge ? Des approximations rationnelles de $\pi$ ? Parce que numériquement, ce n'est clair ni dans un sens, ni dans l'autre.
Utilisateur anonyme
Re: Convergence de 1/ n sin n
il y a onze années
*



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a huit années et a été effectuée par qg77.
Re: Convergence de 1/ n sin n
il y a onze années
avatar
Ci-joint quelques expériences numériques auxquelles je faisais allusion plus haut. Difficile d'en intuiter quoi que ce soit (attention aux changements d'échelle)...

[attachment 12653 Image1.png]

[attachment 12655 Image2.png]

[attachment 12656 Image3.png]

[attachment 12657 Image4.png]

[attachment 12658 Image5.png]

[attachment 12659 Image6.png]


Utilisateur anonyme
Re: Convergence de 1/ n sin n
il y a onze années
*



Edité 6 fois. La dernière correction date de il y a huit années et a été effectuée par qg77.
Re: Convergence de 1/ n sin n
il y a onze années
avatar
Tu parles russe, qg77 ?
Utilisateur anonyme
Re: Convergence de 1/ n sin n
il y a onze années
*



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a huit années et a été effectuée par qg77.
Re: Convergence de 1/ n sin n
il y a onze années
L'article de Salikhov est disponible en anglais

[www.iop.org]
Utilisateur anonyme
Re: Convergence de 1/ n sin n
il y a onze années
*



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a huit années et a été effectuée par qg77.
Re: Convergence de 1/ n sin n
il y a onze années
avatar
Citation

Pour en revenir à la suite $\frac{1}{{n\sin n}}$, elle ne peut converger vers zéro...

Il me semblait bien que ça devait un truc dans ce style. Merci qg77 !
Re: Convergence de 1/ n sin n
il y a onze années
avatar
Combien vaut $\limsup \frac{1}{n\sin n}$ ?
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