unicité du cardinal

Y a quand même plus simple. Soit $f: \{1,\ldots,n\}\to \{1,\ldots,m\}$ une bijection.

Puisque $f$ est injective, le nombre d'éléments de l'image est celui de l'ensemble de départ, c'est-à-dire $n$. Puisque elle est surjective, tout élément de l'ensemble d'arrivée est atteint. Donc le nombre d'éléments de l'image est celui de l'ensemble d'arrivée, c'est-à-dire $m$. Ainsi $n=m$.


J'ai utilisé le fait suivant. Si $E,F$ sont deux ensembles finis, et si $f : E\to F$ est injective, alors $E$ et $f(E)$ ont même nombre d'éléments.

[Démo: Si $x_1,\ldots,x_r$ sont les éléments de $E$, il faut montrer que les éléments $f(x_1),\ldots,f(x_r)$ sont distincts. Mais cela découle de l'injectivité de $f$ par définition même : si $x_i\neq x_j$, alors $f(x_i)\neq f(x_j)$]

Bonjour à tous.

Une "démonstration" express : On utilise le principe des tiroirs.

amicalement,

e.v.

à Gregingre et ev: même objection que celle que Bruno vous fait, vue "l'évidence" de ce que demande Pato, faut faire attention à ne pas tomber dans le "circulaire"***, autrement dit se servir d'un truc qui se sert de ce qu'il veut prouver. Or vos arguments le font

*** un peu comme les gens qui "ne pensent pas" que c'est aussi dur de prouver que $\Z$ est factoriel que de prouver que tout anneau euclidien l'est.

à Pato: Foys semble t'avoir donné une preuve complète (mais assez solennelle...)

J'ai modifié pour que tu "comprennes" mieux bien que j'avais pas l'impression d'avoir si mal disposé le plan "1-2-fin". Enfin, j'ai mis 1-2-3 tu préfèreras peut-être: je te proposais des étapes, il te restait juste à rédiger.

Rappel: $n=\{0;1;2;...;n-1\}$

Si ça te pose encore des soucis, soit $f$ une injection de $n+1$ dans $m+1$. Alors la restriction de $f$ à $n$ a une image qui contient tous les éléments de $m$ sauf 1 seul, (b:=f(n)).

En composant $f$ avec la transposition $t$ qui échange b et $m$ tu obtiens une injection de $n$ dans $m$. Si, pour une récurrence, tu admets que tu as choisi d'appeler $n$ le plus petit entier qui soit une éventuelle exception à la proporiété que tu cherches à prouver alors $n\leq m$, et donc $n+1\leq m+1$

Dans la remarque, je te rappelais juste que la définition officielle des entiers "donne" que, par exemple, $5=\{0;1;2;3;4\}$

Ah, ça me fait bien plaisir de voir que toi qui es pourtant si calme, reste extrèmement vigilent à chaque occurence de l'éternel débat qui nous oppose, heureusement pour le plaisir... X:-(X:-(

Si j'ai envie de te provoquer, je saurai quoi faire ... ça a l'air de bien marcher;)

Par contre en ce qui concerne les entiers tu as peut-être été un peu rapide, car toi-même, je ne serais asp étonné que tu apprécies la simplicité de leur définition formelle (si tu préfères formelle à officielle lol)...

Là pour le coup, on ne perd pas grand chose (je veux dire ce n'est pas une "abstraction" aussi douloureuse que pour les fonctions par exemple, non? En plus au lieu de se fatiguer mettre des accolades, le fait de savoir que $n$ est bien un ensemble (le plus canonique qui soit) qui contient $n$ éléments ne vaut-il pas le coup de faire acte d'acceptation??

Je te rappelle qu'on peut clairement définir les entiers sans la notion d'ensemble. Tous les gamins de 3 à 5 ans le savent.

Non, mais on parle de définitions pas de compréhension... Des fois, à "militer" (et oui.. toi aussi ça t'arrive..) j'ai l'impression que tu pousses un peu faire l'intuitif non? Bien sûr qu'il y a des tas de choses qu'on intuitive, mais de là à appeler ça des définitions.. D'ailleurs, sinon, Pato aurai-il posé sa question? Après tout, il ressentait un besoin alors que "tous les enfants de 3 à 5ans" savent aussi que si 2 entiers ont même cardinal ils sont égaux, non?

Christophe,

ne te trompes pas, j'aime bien, j'adore ta définition des entiers. C'est juste le mot "officielle" qui m'amuse. Tu as suffisamment trainé dans le milieu des mathématiciens pour savoir que maths et "officiel" ne font pas bon ménage.

Cordialement

Alors tu pourrais peut-être utiliser des formes du style "une définition classique", ou "une des définitions les plus pratiques". Voire : Une définition "officielle" ...

Cordialement