Limite inductive et complétude ?

Oui par "suite croissante" je voulais dire que les injections étaient des inclusions et que les topologies des gros sur les petits coïncident.

Tu parles bien de l'article "La dualité dans les espaces (F) et (LF)" ? Dedans il n'est question que d'espaces de Fréchet et leurs limite inductive... Le résultat reste-t-il vrai si on enlève l'hypothèse de métrisabilité ? Enfin... je regarderai la preuve plus en détail demain je pense que je m'en rendrai compte moi même ^^

Je te propose une version "catégorique" mais plus élémentaire que celle énoncé par db.

On ce fixe une certaine catégorie (ie des objet, et des morphismes entre ces objets) dans notre cas c'est la catégorie des espaces vectorielles topologique sur R, les morphismes etant les application linéaire continu.
(on pourrait prendre la catégorie des Evtlcs ca ne changerai rien)

Une considère une famille d'objet (Ai) de notre catégorie, et pour chaque couple d'incide (i,j) on peut avoir un morphisme f_ij :Ai->Aj telle que :
si f_ij et f_jk existe, alors f_ik aussi et c'est la composé de f_ij et f_jk.
en particulier, le diagrame obtenue doit etre comutatif.
(on pourait faire qqch d'encore plus general en tolérant d'avoir plusieurs flèche entre les points, mais ca complique pas mal la définition)

la condition que "deux objet est un majorant commun" correspond au fait la limite soir filtrante : les limite filtrante ce comporte mieux, mais ce n'est pas neccessaire.

"La" limite inductive de cette famille est un objet A de notre catégorie de départ telle que pour tous i il existe f_i:Ai->A (qui soit un morphisme de notre catégorie)
si f_ij existe, alors f_i=f_j ° f_ij

et telle que si B est un autre objet avec de telles morphisme g_i : Ai->B, il existe un unique morphisme h : A->B telle que g_i=h ° f_i.

On sait que si un telle objet existe alors il est unique à unique isomorphisme (comutant aux f_i) pres (si B vérifie la meme propriété que A, alors on aura un morphisme m:B->A qui sera neccessairement l'inverse de h...)

en revanche son existence n'est pas assuré : elle dépend de la catégorie dans laquelle on travaille, mais dans de nombreuse catégorie "raisonnable" les limites inductive existent toujours.


pour ce qui est de la construction ca dépend de la catégorie dans laquel on est : par exemple dans la catégorie des ensemble, une limite inductive sans flèche est une union disjointe, si il y à des flèche entre les objets on prend l'union disjointe des objet et pour tous (i,j) telle que f_ij existe on identifie les elements de Ai et leurs image par f_ij...
..). dans la catégorie des groupes, une limite inductive sans flèche est une somme de groupe, et si il y des flèches on fait les meme identifications que pour les ensembles...






"Donc peut-être que l'on peut reformuler le résultat de Mauricio en disant : si J est une catégorie "filtered", si C est la catégorie des evt localement convexes et D la sous-catégorie de C des evt localement convexes et complets, alors pour tout foncteur F : J -> C,
1) F a une colimite;
2) si (c, \nu) est une colimite de F, alors c est dans D. ">>> pas tous a fait : Il faut prendre F à valeur dans D, et dire que les morphisme de D sont uniquement les morphisme strict (ceux qui induisent des isomorphisme topologique entre leurs image et le quotient par leur noyaux...). dans ce cas le résultat de Mauricio pourait vouloir dire que la colimite de F dans C (qui existe toujour) coincide avec la colimite dans D. mais il n'est énoncé que si J est une catégorie équivalente à la catégorie des entier naturelle (les morphisme etant donné par la relation d'ordre usuelle...)

je crois que tu fais comme si "limite inductive" = "colimite" >>> en effet, et je parle de 'limite inductive filtrante" quand elle est filtrante parceque c'est comme ca que faisait les différents profs que j'ai eu en M2. mais c'est vrai que dans la littérature j'ai remarqué que les limites inductive etait tres souvent filtrante ^^


"Il faut prendre F à valeur dans D" : ça veut dire que ta suite d'evt localement convexes est en fait une suite d'evt localement convexes et complets, non?>>> oui, mais aussi que les morphismes sont strict (j'ai dit qu'on prenait pour D la catégorie dont les points sont les evtlc complets et les morphismes sont les morphisme lineaire strict). c'est la condition qu'à préciser Mauricio : "la topologie induite d'un gros sur un petit coincide avec la topologie du petit"

Pour revenir au problème de départ :

dans l'article que ma indiqué Mauricio ( http://www.numdam.org/numdam-bin/item?id=AIF_1949__1__61_0 ) il est prouvé que la limite inductive d'une suite croissante d'espace de Frechet (complet, localement convexe métrisable) est complet. La preuve utilisant à peu pres la moitié des résultats de l'article il est assez difficile de voir si la métrisabilité y est utile ou non...
une note de bas de page indique que "M. Kôthe nous a communiqué une démonstration directe plus simple de cette proposition." savez vous si cette fameuse preuve peut ce trouver quelque part ?

Parfait, j'irais vois ces références dès demain, je pense qu'elle répondront complètement à la question ^^





Je présume qu'il suffit de prouver que si un evt lc est réunion de sev complets lc (mais les top sont les induites), réunion filtrante, alors il est lui-même complet? >>> oui il suffit de prouver cela, mais ce résultat est faux : typiquement un EVT quelconque (meme pas LC) est une réunion filtrante de ces sous EV (qui eux sont bien LC complet ) de dimension fini qui sont bien complet, et il n'est pas toujour complet...
et si on veut une union croissante : meme argument avec R[X] munie d'une norme quelconque qui est union croissante des Rn[X]. le fait que la topologie sur l'espace total est la topologie limite inductive est tres important et non anodin

Bonjour

Ce sont les topologies solutions du problème universel donné par ses limites (même problème universel que dans le cas purement algébrique, mais en imposant en plus que toute les applications considérées soient continues...):

La topologie limite inductive sur E =Lim (E_i) est l'unique topologie telle qu'une application est continue sur E si et seulement si sa restriction à chaque E_i est continue pour la topologie de E_i
C'est aussi la topologie d'evt la plus fine rendant continues les E_i->E. C'est encore la topologie définie par : Une partie de E est ouverte si et seulement si son intersection avec chaque E_i est ouverte.

La topologie limite projective de F=Lim proj F_i est la topologie telle que une application à valeur dans F est continue si et seulement si sa composée avec toute les projections F->F_i est continue. c'est la topologie d'EVT la moins fine rendant continues les projection F->F_i

Si la limite est filtrante ça m'a l'air assez intuitif quand même, c'est une propriété locale il suffit de se mettre dans un élément du système inductif assez gros.
>>> en effet, c'est comme cela qu'on procède au final... mais ce n'est pas aussi evident de voir qu'on peut ce restreindre à un element du système inductif : si on regarde de la complétude séquentielle ca marche car une suite de cauchy est borné (au sens des evt) et une partie borné est incluse dans un element du système inductif. mais la ou ca coince pour passer à la vrai complétude, c'est qu'un filtre de cauchy n'a lui aucune raison d'etre borné (typiquement, le filtre des voisinage de 0 ne contiens aucune partie borné si on est pas sur un espace de Banach). la démonstration qu'on ma conseillé plus haut (dans Schaefer "Topological Vector Spaces") montre en utilisant un argument un peu technique dont j'ai pas encore vraiment assimilé le sens et qui utilise de facon essentielle qu'on est sur des espaces localement convexe que quitte à grossir un peu on peut montrer que sa trace sur un des Ei est une base de filtre...