croisement de chemins
dans Analyse
Salut,
Soit le carré $C=[0,1]^2$ de $\mathbb R^2$ et soit $\gamma_1:[0,1] \to C$ une fonction continue telle que $\gamma_1(0)=(0,1)$ et $\gamma_1(1)=(1,0)$. Soit aussi $\gamma_2:[0,1] \to C$ continue telle que $\gamma_2(0)=(0,0)$ et $\gamma_2(1)=(1,1)$.
Démontrer que les deux chemins se croisent.
Soit le carré $C=[0,1]^2$ de $\mathbb R^2$ et soit $\gamma_1:[0,1] \to C$ une fonction continue telle que $\gamma_1(0)=(0,1)$ et $\gamma_1(1)=(1,0)$. Soit aussi $\gamma_2:[0,1] \to C$ continue telle que $\gamma_2(0)=(0,0)$ et $\gamma_2(1)=(1,1)$.
Démontrer que les deux chemins se croisent.
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Réponses
$f(t) = (cos(t),sin(t))$.
$f$ est une courbe fermée, si $\gamma_2$ et $\gamma_1$ ne se coupent pas, l'indice de $f$ par rapport à $\gamma_2(t)$ est toujours défini lorsque $0 \leq t \leq 1$ et change de valeur. Or ceci est impossible...(par des arguments d'invariance par homotopie de l'indice. Consulter cours de topo alg pour la définition de l'indice dans le cas d'une courbe seulement continue et pour les résultats techniques envisagés).
http://groups.google.fr/group/fr.sci.maths/browse_thread/thread/635d069f6796685b/fb6d5d34d55fcab7
A ma connaissance, il n'existe aucune preuve "correcte" pour la bonne raison qu'ils sont considérés comme "archi résolus" par des théories puissantes* et il n'est plus jamais d'actualité d'en trouver des preuves essentiellement bonnes.
(topologie algébrique, top différentielle, etc)
Résultat, ils "se meurent" de voir systématiquement répétées toujours les mêmes démonstrations.
Au contraire, je pense qu'ils représentent de véritables défis et qu'il faudrait qu'il y ait des recherches plus actives pour chercher ces preuves. Personnellement, je n'en connais pas de valable (elles sont valides, bien sûr..).
De mon point de vue, il y a une "raison" (assez physique hélas) qui est la suivante:
Tu tournes un peu ton carré pour le regarder comme un losange. Par conpacité, tu peux regarder ton lacet horizontal comme entourable d'une gaine (comme un tuyau d'arrosage). Sans perte de généralité, tu peux supposer que chaque lacet est paramétré injectivement et qu'ils ont des longueurs (compacité).
L'autre lacet est une ficelle.
Ensuite tu tires sur l'est et l'ouest de ton losange matériel pour les éloigner (ce qui écrase ton losange, en proportion). Le tuyau d'arrosage et la ficelle, peuvent se "rencontrer" et se pousser, mais les lacets restent éloignés par l'épaisseur du tuyau. La longueur du lacet "horizontal" étant fini, à force de tirer, tu vas parvenir à une configuration où il est devenu une ligne droite. La ficelle quant elle aura été gentiment repoussée sans être violentée ni casser (elle est élastique).
Une fois que tu as ton lacet horizontal qui est une diagonale du losange obtenu, tu peux conclure, par l'absurde avec un argument dichotomique du genre theo des val intermédiaires
La seule obstruction serait qu'à un moment le tuyau soit bloqué en position arrondie parce qu'un telle amassement de ficelle (infiniment fine) se produirait pour le bloquer, mais ça entrerait alors en contradiction avec le fait que les lacets avaient été choisis initialement de longueur finie (la ficelle se mettant subitement à remplir une surface)
Remarque: cet argument physique est assez général pour produire aussi la même conclusion mais où on suppose seulement que l'un va de droite à gauche (pas forcément des coins) et l'autre de haut en bas, et donc entrainer Brouwer2.
Brouwer_n s'obtient aussi comme ça, mais "tendre des hypersurfaces" hum hum...
D'une manière générale, je postule (en fait c'est presque une définition) qu'étant donné un espace métrique $E$ qui est compact, s'il n'est pas "magique" alors pour tout $a\in E$ et tout application continue $f$ de $E\times [0;1]\to E$ avec
$\forall x\in E: f(x,0)=a$, il existe un point $y\in E$ tel que $f(y,1)=y$
(je me doute qu'ils ne sont pas tous comme ça, mais je parie cher que tous ceux qui sont "magiques" sont indessinables)
En fait, le postulat est une définition du mot "magique".
$$f:[0,1]^2\longrightarrow \mathbb{S}^1$$
définie par
$$f(t,u)=\frac{\gamma_2(u)-\gamma_1(t)}{\mid\gamma_2(u)-\gamma_1(t)\mid}$$
L'application $f$ restreinte au bord du carré est de degré $-1$ (il suffit de regarder un peu la figure pour s'en convaincre ; commencer par regarder aux 4 sommets du carré).
Or comme $f$ est définie sur tout le carré, l'application $f$ restreinte au bord du carré est de degré $0$.
D'où contradiction.
PS Je m'aperçois que le lien donné par Guego donne à peu près la même solution...