

é bé, je ne sais pas qui se cache derrière yan2, mais il est gâté, avec 3 solutions rédigées assez soigneusement par 3 intervenants.
Citation
applications de ce résultat?
A mon avis, il ne doit pas y en avoir sous cette forme parce qu'appliquer veut dire, logiquement, l'utiliser en occurence négative, autrement dit:
...raisonnement... qui aboutit à ... Pof est continue ET f a la prop VI
"donc" f continue.
(le "donc" vert signale l'application)
Or comment arriver à f PVI? Souvent (enfin dans le "scolaire" si cher aux intervenants majoritaires ici), ce sera par la voie " f:=g' " (je suis peut-être ingonrant des calculs, mais je crois que pour les PVI, il n'y a guère classiquement que les g', et les continues). Et les préliminaires auront établi que Pog' est continue, ce qui aura souvent été tiré d'une "g continument dérivable" (tjs scolairement)... et donc on aura déjà prouvé avant que g'=f est continue.
Par contre, l'énoncé illustre un point que j'aime publiciter souvent: tout théorème de maths est un cas particulier d'évidence (pas une évidence!), et c'est souvent de voir l'évidence plus générale qui est difficile. J'essaie de ne pas rater l'occaz de le signaler quand elle se présente sur le forum dans des cas simples (:=où je peux le faire).
Ici, l'énoncé E à prouver est un cas particulier de "l'évidence F" qui dit:
si gof est continue et si f a la PVI et si l'image de tout intervalle non nul par g a un diamettre non nul alors f est conitnue*, mais évidemment poser la question comme ça rend l'exo "trop" facile parce qu'on "donne" la solution dans la question. Donc ici, yan2 a remplacé "g blabla" par "g polynome" et ça devient un jeu de trouver un th de math qui va servir.
Ca a l'air de rien mais le plus dur pour "les hommes et les femmes" est de prouver que les intervalles non nuls ont des images par les poly non cst de diamètres non nuls.
* vu que si x est superproche de a alors que f(x) ne l'est pas de f(a) il existe un gros intervalle I std inclus dans [f(a),f(x)] et pour ce I, gof([a,x]) qui contient g(I) a un diam non superproche de 0.
Edité 3 fois. La dernière correction date de il y a onze années et a été effectuée par christophe chalons.