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Valeur principale de Cauchy

Envoyé par Mister Da 
Valeur principale de Cauchy
il y a dix années
Bonjour à tous,

J'ai fouillé dans le forum mais je n'ai pas trouvé mon bonheur c'est pour cela que j'ouvre ce nouveau sujet sur les valeurs principales (VP).

Pour tout $a>0$
$$
VP\int_{-a}^a \frac{dx}{x} =
\lim_{\epsilon\rightarrow0^+}\left(\int_{-a}^{-\epsilon}\frac{dx}{x}
+ \int_{+\epsilon}^{+a}\frac{dx}{x}\right) = 0
$$
Par contre, ai-je le droit d'écrire :
$$
VP\int_{-\infty}^\infty \frac{dx}{x} =
\lim_{a\rightarrow+\infty} \lim_{\epsilon\rightarrow0^+}\left(\int_{-a}^{-\epsilon}\frac{dx}{x}
+ \int_{+\epsilon}^{+a}\frac{dx}{x}\right) = 0
$$
Ce qui me gêne est que je fais une double limite... Alors que dans les définitions des valeurs principales il n'y a qu'une seule limite. Dans ce cas peut-on écrire :
$$
VP\int_{-\infty}^\infty \frac{dx}{x} =
\lim_{\epsilon\rightarrow0^+}\left(\int_{-1/\epsilon}^{-\epsilon}\frac{dx}{x}
+ \int_{+\epsilon}^{+1/\epsilon}\frac{dx}{x}\right) = 0
$$
c'est à dire contrôler les deux limites en même temps.
Et enfin, ai-je le droit de dire que comme la fonction $\dfrac 1 x$ est impaire on a forcément $ \displaystyle VP\int_{-\infty}^\infty \frac{dx}{x} =0 $
Ce raccourci est tentant mais je doute que l'étude de la parité puisse suffire.
Je vous remercie par avance de votre aide.
Re: Valeur principale de Cauchy
il y a dix années
bonjour

dans ta première expression de la valeur principale
rien ne t'empêche de travailler sur les primitives (avec e > 0):

VP = limite si e tend vers 0 de ln|x| calculé de -a à -e puis de e à a
soit limite si e tend vers 0 de (lne - lna + lna - lne) soit 0

si a tend vers +oo le problème ne change pas en raisonnant à la limite
1/x est fonction impaire mais cela ne suffit pas en effet au raisonnement analytique

cordialement



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a dix années et a été effectuée par jean lismonde.
JJ
Re: Valeur principale de Cauchy
il y a dix années
avatar
Bonjour,

pour appuyer le propos de Jean Lismonde que je salue à cette occasion :
[attachment 13059 VP.GIF]


Re: Valeur principale de Cauchy
il y a dix années
jean lismonde et JJ, merci pour la rapidité et la qualité de vos réponses.

J'ai encore un dernier point à éclaircir et tout sera + clair dans ma tête.


Suite à la remarque de jean lismonde
"1/x est fonction impaire mais cela ne suffit pas en effet au raisonnement analytique".

En fait je n'arrive pas à comprendre pourquoi la propriété d'imparité ne suffit pas vu que la valeur principale se sert justement de cette symétrie en faisant tendre les limites à la même vitesse.

La question que je me pose est la suivante :

Existe-t-il des fonctions $f(x)$ impaires telles que $\forall a>0$ :

$$VP\int_{-a}^a f(x)dx} \neq0 $$

Je vous remercie d'avance de votre aide
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