Valeur principale de Cauchy

Bonjour à tous,

J'ai fouillé dans le forum mais je n'ai pas trouvé mon bonheur c'est pour cela que j'ouvre ce nouveau sujet sur les valeurs principales (VP).

Pour tout $a>0$
$$
VP\int_{-a}^a \frac{dx}{x} =
\lim_{\epsilon\rightarrow0^+}\left(\int_{-a}^{-\epsilon}\frac{dx}{x}
+ \int_{+\epsilon}^{+a}\frac{dx}{x}\right) = 0
$$
Par contre, ai-je le droit d'écrire :
$$
VP\int_{-\infty}^\infty \frac{dx}{x} =
\lim_{a\rightarrow+\infty} \lim_{\epsilon\rightarrow0^+}\left(\int_{-a}^{-\epsilon}\frac{dx}{x}
+ \int_{+\epsilon}^{+a}\frac{dx}{x}\right) = 0
$$
Ce qui me gêne est que je fais une double limite... Alors que dans les définitions des valeurs principales il n'y a qu'une seule limite. Dans ce cas peut-on écrire :
$$
VP\int_{-\infty}^\infty \frac{dx}{x} =
\lim_{\epsilon\rightarrow0^+}\left(\int_{-1/\epsilon}^{-\epsilon}\frac{dx}{x}
+ \int_{+\epsilon}^{+1/\epsilon}\frac{dx}{x}\right) = 0
$$
c'est à dire contrôler les deux limites en même temps.
Et enfin, ai-je le droit de dire que comme la fonction $\dfrac 1 x$ est impaire on a forcément $ \displaystyle VP\int_{-\infty}^\infty \frac{dx}{x} =0 $
Ce raccourci est tentant mais je doute que l'étude de la parité puisse suffire.
Je vous remercie par avance de votre aide.