Valeur principale de Cauchy
Bonjour à tous,
J'ai fouillé dans le forum mais je n'ai pas trouvé mon bonheur c'est pour cela que j'ouvre ce nouveau sujet sur les valeurs principales (VP).
Pour tout $a>0$
$$
VP\int_{-a}^a \frac{dx}{x} =
\lim_{\epsilon\rightarrow0^+}\left(\int_{-a}^{-\epsilon}\frac{dx}{x}
+ \int_{+\epsilon}^{+a}\frac{dx}{x}\right) = 0
$$
Par contre, ai-je le droit d'écrire :
$$
VP\int_{-\infty}^\infty \frac{dx}{x} =
\lim_{a\rightarrow+\infty} \lim_{\epsilon\rightarrow0^+}\left(\int_{-a}^{-\epsilon}\frac{dx}{x}
+ \int_{+\epsilon}^{+a}\frac{dx}{x}\right) = 0
$$
Ce qui me gêne est que je fais une double limite... Alors que dans les définitions des valeurs principales il n'y a qu'une seule limite. Dans ce cas peut-on écrire :
$$
VP\int_{-\infty}^\infty \frac{dx}{x} =
\lim_{\epsilon\rightarrow0^+}\left(\int_{-1/\epsilon}^{-\epsilon}\frac{dx}{x}
+ \int_{+\epsilon}^{+1/\epsilon}\frac{dx}{x}\right) = 0
$$
c'est à dire contrôler les deux limites en même temps.
Et enfin, ai-je le droit de dire que comme la fonction $\dfrac 1 x$ est impaire on a forcément $ \displaystyle VP\int_{-\infty}^\infty \frac{dx}{x} =0 $
Ce raccourci est tentant mais je doute que l'étude de la parité puisse suffire.
Je vous remercie par avance de votre aide.
J'ai fouillé dans le forum mais je n'ai pas trouvé mon bonheur c'est pour cela que j'ouvre ce nouveau sujet sur les valeurs principales (VP).
Pour tout $a>0$
$$
VP\int_{-a}^a \frac{dx}{x} =
\lim_{\epsilon\rightarrow0^+}\left(\int_{-a}^{-\epsilon}\frac{dx}{x}
+ \int_{+\epsilon}^{+a}\frac{dx}{x}\right) = 0
$$
Par contre, ai-je le droit d'écrire :
$$
VP\int_{-\infty}^\infty \frac{dx}{x} =
\lim_{a\rightarrow+\infty} \lim_{\epsilon\rightarrow0^+}\left(\int_{-a}^{-\epsilon}\frac{dx}{x}
+ \int_{+\epsilon}^{+a}\frac{dx}{x}\right) = 0
$$
Ce qui me gêne est que je fais une double limite... Alors que dans les définitions des valeurs principales il n'y a qu'une seule limite. Dans ce cas peut-on écrire :
$$
VP\int_{-\infty}^\infty \frac{dx}{x} =
\lim_{\epsilon\rightarrow0^+}\left(\int_{-1/\epsilon}^{-\epsilon}\frac{dx}{x}
+ \int_{+\epsilon}^{+1/\epsilon}\frac{dx}{x}\right) = 0
$$
c'est à dire contrôler les deux limites en même temps.
Et enfin, ai-je le droit de dire que comme la fonction $\dfrac 1 x$ est impaire on a forcément $ \displaystyle VP\int_{-\infty}^\infty \frac{dx}{x} =0 $
Ce raccourci est tentant mais je doute que l'étude de la parité puisse suffire.
Je vous remercie par avance de votre aide.
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Réponses
dans ta première expression de la valeur principale
rien ne t'empêche de travailler sur les primitives (avec e > 0):
VP = limite si e tend vers 0 de ln|x| calculé de -a à -e puis de e à a
soit limite si e tend vers 0 de (lne - lna + lna - lne) soit 0
si a tend vers +oo le problème ne change pas en raisonnant à la limite
1/x est fonction impaire mais cela ne suffit pas en effet au raisonnement analytique
cordialement
pour appuyer le propos de Jean Lismonde que je salue à cette occasion :
J'ai encore un dernier point à éclaircir et tout sera + clair dans ma tête.
Suite à la remarque de jean lismonde
"1/x est fonction impaire mais cela ne suffit pas en effet au raisonnement analytique".
En fait je n'arrive pas à comprendre pourquoi la propriété d'imparité ne suffit pas vu que la valeur principale se sert justement de cette symétrie en faisant tendre les limites à la même vitesse.
La question que je me pose est la suivante :
Existe-t-il des fonctions $f(x)$ impaires telles que $\forall a>0$ :
$$VP\int_{-a}^a f(x)dx} \neq0 $$
Je vous remercie d'avance de votre aide