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Processus i.i.d

Envoyé par Sandrine007 
Processus i.i.d
il y a dix années
Bonsoir,

voici mon problème:
Soit $X_t$ un PAIS càd réel croissant $L^1$ tel que $X_0 = 0$
j'aimerais montrer que les v.a $\xi = \underset{t \in [n, n+1] }{sup} X_t - X_n$ forment une suite de v.a i.i.d .

on prend le sup sur des intervalles de R, donc je ne vois pas comment on pourrait faire ce là ..

merci de votre aide .
Re: Processus i.i.d
il y a dix années
J'ai essayé d'intersecter avec Q, mais j'y arrive pas

je cale complet là :(
Re: Processus i.i.d
il y a dix années
avatar
Pas de pot, les probabilistes sont presque sûrement absents en ce moment... :D
aléa egoroff ?
il y a dix années
manque de pot :(
et moi je converge en loi vers la $m$.... merci quand même remarque :)


je fais appel egoroff ou aléa
on voit plus LBR par ici ! :(
Re: aléa egoroff ?
il y a dix années
avatar
Salut à tous les deux,

Eh oui le temps de premier retour de la permanence probas peut parfois être long, mais il est presque sûrement fini ;)

Sandrine : Je suppose que $\xi$ s'appelle en réalité $\xi_n$ ? Je te propose de passer par deux petits lemmes intermédiaires :
1) si $(U_t)_{t \in I}$ est un processus càd indépendant d'une tribu $\mathcal{G}$ alors $U^*=\sup_I U_t$ est également indépendant de $\mathcal{G}$ ;
2) si $(V_t)_{t \in I}$, $(W_t)_{t \in I}$ sont deux processus càd égaux en loi, alors on a égalité en loi de $V*=\sup_I V_t$ et $W^*=\sup_I W_t$.
Le premier devrait te permettre de montrer que $\xi_n$ est indépendant de $\mathcal{F}_n$, donc de $(\xi_0,...,\xi_{n-1})$. Le second, combiné à la propriété de Markov faible de ton PAIS (qui est càd rappelons-le), devrait te permettre de montrer que $\xi_n$ a la même loi que $\xi_0$... CQFD.

Dis-moi si tu rencontres des soucis;
Re: Processus i.i.d
il y a dix années
thumbs down
(c'est bien $\xi_n$)
ce qui m'avait dérouté c'est le sup dans des intervalles de R, mais finalement ça me rappelle un résultat que j'ai vu dans une autre matière (théorème de la modification)
j'ai compris maintenant, même très bien compris

j'ai une remarque par contre qui n'est pas forcément liée à la première question
en effet, si on prend le processus $X_t$ (vérifiant les hypothèses que j'ai cité)
que pourrait on dire sur la limite de X_t/t quand t positif tend vers l'infini (j'imagine qu'on doit d'abord passer pour t entier naturel?) je sais qu'elle existe dans les deux cas, mais j'arrive pas à l'expliciter

Merci Maître Egoroff !
Re: Processus i.i.d
il y a dix années
avatar
Ah non pas de "maître" sinon je vais rougir... En effet, c'est une bonne idée de passer par $t \in \N$, tu pourrais écrire $X_n$ comme une some de $n$ variables i.i.d. et appliquer un théorème bien connu à la suite $(X_n/n)$. Ensuite il faut vérifier que ça se passe bien entre les entiers, et c'est là que $\xi_n$ interevient.
Re: Processus i.i.d
il y a dix années
Merci Egoroff,

Comment vérifier que ça se passe juste entre entier,
pour X_n je l'ai écrit sous forme de somme de série téléscopique et on applique le LFGN,

on s'est bien compris ?
Re: Processus i.i.d
il y a dix années
avatar
Oui c'est très bien. Pour $t$ non entier, situé dans $]n,n+1[$, tu peux essayer d'encadrer la différence entre $X_t/t$ et $X_n/n$, en t'aidant éventuellement de $\xi_n$.
Re: Processus i.i.d
il y a dix années
J'aimerais d'abord savoir comment montrer que cela se passe juste entre entiers ?



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a dix années et a été effectuée par AD.
Re: Processus i.i.d
il y a dix années
avatar
En fait comme ton cas tu as un subordinateur (PAIS croissant) c'est très simple : tu as, pour $t \in [n,n+1[$, $X_n \leq X_t \leq X_{n+1}$, donc $\frac{X_n}{n+1} \leq \frac{X_t}{t} \leq \frac{X_{n+1}}{n}$ ; tu peux donc encadrer $X_t/t$ par deux processus constants par morceaux, qui ont la même limite...
Re: Processus i.i.d
il y a dix années
ah
ce là me fait penser à un résultat que je viens de voir ce soir;
LFGN dans le cas de processus de Poisson !

ahhh je comprends beaucoup Mieux !

je te remercie Egoroff merci !!!
Re: Processus i.i.d
il y a dix années
Désolée de déterrer ce post, mais j'ai un point d'interrogation :

je bug dans la démonstration dans le cas où t est réel, on sait maintenant que ça se passe entre les entiers, mais je ne vois pas comment l'encadrer ce processus

merci
Re: Processus i.i.d
il y a dix années
avatar
Salut,

Bah.. qu'est-ce que tu ne comprends pas ? Supposons que $n \leq t < n+1$, alors on a $(n+1)^{-1}X_n \leq X_t/t \leq n^{-1}X_{n+1}$ ; si tu définis $L_t=( \lfloor t \rfloor + 1)^{-1} X_{\lfloor r \rfloor}$, $U_t=\lfloor r \rfloor^{-1}X_{\lfloor r \rfloor+1}$, alors les processus $L,U$ sont constants sur les intervalles $[n,n+1$, convergent tous deux presque sûrement vers la même limite $\mathbb{E}(X_1)$, et tu as $L_t \leq X_t \leq U_t$ pour tout $t$. Tu peux appliquer le théorème des gendarmes $\omega$ par $\omega$ et tu obtiens ce que tu veux. C'est plus clair ?
Re: Processus i.i.d
il y a dix années
merci egoroff,

excuse moi mais ça en fait, je l'avais compris, j'avais fait la même chose en utilisant plutôt le théorème sandwich :) ( je sais c'est la même chose )

ce qui me reste c'est le cas où t est non entier dans )n,n+1( tu disais dans un post que c'est la ou les $\xi_n$ interviennent

comment donc encadrer le processus ?
Re: Processus i.i.d
il y a dix années
avatar
Comment ça il reste le cas $t$ non entier ? Qu'est-ce qu'on vient de traiter alors ?
Re: Processus i.i.d
il y a dix années
ma question était mal reformulée, excuses moi ...

finalement on ne se sert pas de ce fameux $\xi_n$ ?
Re: Processus i.i.d
il y a dix années
avatar
Bah en fait non ; enfin si on s'en sert dans le cas d'un PAIS quelconque mais ici comme ton processus est croissant c'est beaucoup plus simple.
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