Processus i.i.d

Sandrine007
Sandrine007
dans Analyse
Bonsoir,

voici mon problème:
Soit $X_t$ un PAIS càd réel croissant $L^1$ tel que $X_0 = 0$
j'aimerais montrer que les v.a $\xi = \underset{t \in [n, n+1] }{sup} X_t - X_n$ forment une suite de v.a i.i.d .

on prend le sup sur des intervalles de R, donc je ne vois pas comment on pourrait faire ce là ..

merci de votre aide .

Réponses

  • Sandrine007
    Sandrine007
    J'ai essayé d'intersecter avec Q, mais j'y arrive pas

    je cale complet là :(
  • remarque
    remarque
    Pas de pot, les probabilistes sont presque sûrement absents en ce moment... :D
  • Sandrine007
    Sandrine007
    manque de pot :(
    et moi je converge en loi vers la $m$.... merci quand même remarque :)


    je fais appel egoroff ou aléa
    on voit plus LBR par ici ! :(
  • egoroff
    egoroff
    Salut à tous les deux,

    Eh oui le temps de premier retour de la permanence probas peut parfois être long, mais il est presque sûrement fini ;)

    Sandrine : Je suppose que $\xi$ s'appelle en réalité $\xi_n$ ? Je te propose de passer par deux petits lemmes intermédiaires :
    1) si $(U_t)_{t \in I}$ est un processus càd indépendant d'une tribu $\mathcal{G}$ alors $U^*=\sup_I U_t$ est également indépendant de $\mathcal{G}$ ;
    2) si $(V_t)_{t \in I}$, $(W_t)_{t \in I}$ sont deux processus càd égaux en loi, alors on a égalité en loi de $V*=\sup_I V_t$ et $W^*=\sup_I W_t$.
    Le premier devrait te permettre de montrer que $\xi_n$ est indépendant de $\mathcal{F}_n$, donc de $(\xi_0,...,\xi_{n-1})$. Le second, combiné à la propriété de Markov faible de ton PAIS (qui est càd rappelons-le), devrait te permettre de montrer que $\xi_n$ a la même loi que $\xi_0$... CQFD.

    Dis-moi si tu rencontres des soucis;
  • Sandrine007
    Sandrine007
    (tu)
    (c'est bien $\xi_n$)
    ce qui m'avait dérouté c'est le sup dans des intervalles de R, mais finalement ça me rappelle un résultat que j'ai vu dans une autre matière (théorème de la modification)
    j'ai compris maintenant, même très bien compris

    j'ai une remarque par contre qui n'est pas forcément liée à la première question
    en effet, si on prend le processus $X_t$ (vérifiant les hypothèses que j'ai cité)
    que pourrait on dire sur la limite de X_t/t quand t positif tend vers l'infini (j'imagine qu'on doit d'abord passer pour t entier naturel?) je sais qu'elle existe dans les deux cas, mais j'arrive pas à l'expliciter

    Merci Maître Egoroff !
  • egoroff
    egoroff
    Ah non pas de "maître" sinon je vais rougir... En effet, c'est une bonne idée de passer par $t \in \N$, tu pourrais écrire $X_n$ comme une some de $n$ variables i.i.d. et appliquer un théorème bien connu à la suite $(X_n/n)$. Ensuite il faut vérifier que ça se passe bien entre les entiers, et c'est là que $\xi_n$ interevient.
  • Sandrine007
    Sandrine007
    Merci Egoroff,

    Comment vérifier que ça se passe juste entre entier,
    pour X_n je l'ai écrit sous forme de somme de série téléscopique et on applique le LFGN,

    on s'est bien compris ?
  • egoroff
    egoroff
    Oui c'est très bien. Pour $t$ non entier, situé dans $]n,n+1[$, tu peux essayer d'encadrer la différence entre $X_t/t$ et $X_n/n$, en t'aidant éventuellement de $\xi_n$.
  • Sandrine007
    Sandrine007
    J'aimerais d'abord savoir comment montrer que cela se passe juste entre entiers ?
  • egoroff
    egoroff
    En fait comme ton cas tu as un subordinateur (PAIS croissant) c'est très simple : tu as, pour $t \in [n,n+1[$, $X_n \leq X_t \leq X_{n+1}$, donc $\frac{X_n}{n+1} \leq \frac{X_t}{t} \leq \frac{X_{n+1}}{n}$ ; tu peux donc encadrer $X_t/t$ par deux processus constants par morceaux, qui ont la même limite...
  • Sandrine007
    Sandrine007
    ah
    ce là me fait penser à un résultat que je viens de voir ce soir;
    LFGN dans le cas de processus de Poisson !

    ahhh je comprends beaucoup Mieux !

    je te remercie Egoroff merci !!!
  • Sandrine007
    Sandrine007
    Désolée de déterrer ce post, mais j'ai un point d'interrogation :

    je bug dans la démonstration dans le cas où t est réel, on sait maintenant que ça se passe entre les entiers, mais je ne vois pas comment l'encadrer ce processus

    merci
  • egoroff
    egoroff
    Salut,

    Bah.. qu'est-ce que tu ne comprends pas ? Supposons que $n \leq t < n+1$, alors on a $(n+1)^{-1}X_n \leq X_t/t \leq n^{-1}X_{n+1}$ ; si tu définis $L_t=( \lfloor t \rfloor + 1)^{-1} X_{\lfloor r \rfloor}$, $U_t=\lfloor r \rfloor^{-1}X_{\lfloor r \rfloor+1}$, alors les processus $L,U$ sont constants sur les intervalles $[n,n+1$, convergent tous deux presque sûrement vers la même limite $\mathbb{E}(X_1)$, et tu as $L_t \leq X_t \leq U_t$ pour tout $t$. Tu peux appliquer le théorème des gendarmes $\omega$ par $\omega$ et tu obtiens ce que tu veux. C'est plus clair ?
  • Sandrine007
    Sandrine007
    merci egoroff,

    excuse moi mais ça en fait, je l'avais compris, j'avais fait la même chose en utilisant plutôt le théorème sandwich :) ( je sais c'est la même chose )

    ce qui me reste c'est le cas où t est non entier dans )n,n+1( tu disais dans un post que c'est la ou les $\xi_n$ interviennent

    comment donc encadrer le processus ?
  • egoroff
    egoroff
    Comment ça il reste le cas $t$ non entier ? Qu'est-ce qu'on vient de traiter alors ?
  • Sandrine007
    Sandrine007
    ma question était mal reformulée, excuses moi ...

    finalement on ne se sert pas de ce fameux $\xi_n$ ?
  • egoroff
    egoroff
    Bah en fait non ; enfin si on s'en sert dans le cas d'un PAIS quelconque mais ici comme ton processus est croissant c'est beaucoup plus simple.
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