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Mesures de Stieltjes sur R^d

Mesures de Stieltjes sur R^d
il y a dix années
bonsoir

je me pose une question (encore...)

sur $(\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R}))$ les mesures de Borel sont les mesure de Stieltjes et chacune d'entre-elles peut-être représentée par une fonction de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ croissante et continue à droite, unique à translation près

existe-t-il un théorème similaire sur $(\mathbb{R}^d,\mathcal{B}(\mathbb{R}^d))$ ?

par exemple :

si $\mu$ est une mesure de Borel sur $(\mathbb{R}^d,\mathcal{B}(\mathbb{R}^d))$ il existe une fonction $F$ de $\mathbb{R}^d$ dans $\mathbb{R}$ vérifiant certaines conditions et qui représente $\mu$ dans le sens suivant :
$$\mu(\prod_{i=1,...,d} ]a_i,b_i])=\prod_{i=1,...,d} (F_i(b_i)-F_i(a_i))$$
pour tout produit d'intervalles


ce théorème existe-t-il?
Re: Mesures de Stieltjes sur R^d
il y a dix années
avatar
Salut,

Le théorème dont tu rêves existe, je l'ai rencontré.. :) D'abord on remarque que la connaissance de $\mu$ sur le pavés semi-ouverts que tu as décrits suffit à caractériser $\mu$, par le théorème des classes monotones. Ensuite on essaye de caractérier $F$, suffisamment pour avoir une réciproque ; sauf erreur il suffit d'avoir $F$ mesurable, continue à droite en chaque variable et "croissante" au sens suivant : $\sum_{x \in S} \varepsilon(x) F(x) \geq 0$, pour tout $S=\{a_1,b_1\} \times \cdots \{a_d,b_d\}$ et où $\varepsilon(x)=\mathrm{Card} \{i \, | \, x_i=a_i\}$, pour avoir l'existence de $\mu$, mais je vais essayer de retrouver l'énoncé précis. Enfin tu peux noter qu'au sens des distributions on a $\mu = \frac{\partial^d}{\partial x_1 \cdots \partial x_d} F$, ça peut servir.
Re: Mesures de Stieltjes sur R^d
il y a dix années
avatar
Et Dieu créa egoroff...
Re: Mesures de Stieltjes sur R^d
il y a dix années
avatar
Euh merci Sylvain mais n'exagérons rien eye popping smiley Je n'ai fait que raconter un vague souvenir de résultat à watanuki (mais je vais essayer d'être plus précis prochainement).
Re: Mesures de Stieltjes sur R^d
il y a dix années
avatar
Mesures de Borel positives, I presume?
Re: Mesures de Stieltjes sur R^d
il y a dix années
Re: Mesures de Stieltjes sur R^d
il y a dix années
avatar
I thought so. Mais comme une mesure réelle se décompose en partie positive et partie négative, ce n'était qu'un petit pinaillage pour le plaisir.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a dix années et a été effectuée par remarque.
Re: Mesures de Stieltjes sur R^d
il y a dix années
on parle souvent de cela dans les bouquin (ou wiki) sur les copules (probabilite) ...
Re: Mesures de Stieltjes sur R^d
il y a dix années
bonjour,

pour remarque, pour une mesure réelle, il faut deux fonctions pour la représenter à mon avis, donc c'est plus dur
ou peut-être qu'on peut trouver une condition sur cette fonction pour qu'il n'y en ait qu'une mais je ne sais pas du tout laquelle.


Bon je n'ai pas fait la démonstration mais j'ai réfléchi...

je prends $F$ de $\mathbb{R}^d$ dans $\mathbb{R}$ telle que $F$ est croissante et continue à droite en chaque variable dans le sens suivant :
pour chaque $i \in \{1,...,d\}$, pour chaque $(t_1,...,t_{i-1},t_{i+1},...,t_d) \in \mathbb{R}^{d-1}$, la fonction $t \mapsto F(t_1,...,t_{i-1},t,t_{i+1},...t_d)$ est croissante et continue à droite,

alors pour $a_i<b_i$, je pose $vol_F=(\prod_{i=1,...,d}]a_i,b_i])=\prod_{i=1,...,d} (F_i(b_i) -F_i(a_i))$ où pour tout $i$, $F_i$ est définie par $F_i(t)=F(0,...,0,t,0,...,0) avec $t$ en i-ème position.

Si je ne me trompe pas (je ne l'ai pas fait!!!) , $vol_F$ vérifie ce qu'il faut sur les hyperpavés pour être prolongée sur la tribu borélienne en une mesure positive qui sera alors une mesure de Borel.

Réciproquement, si $\mu$ mesure de Borel, j'ai envie de poser $F(t_1,...,t_d)=\mu(\prod_{i=1,...d} ]0,t_i])$ pour tout $t \in \mathbb{R}^d$. Je pense que cette fonction vérifie ce qu'il faut.

Si on prend deux de telles fonctions on devrait trouver qu'elles ne diffèrent que d'une constante.

Est-ce une bonne démarche selon vous?
Re: Mesures de Stieltjes sur R^d
il y a dix années
bonjour,

pour remarque, pour une mesure réelle, il faut deux fonctions pour la représenter à mon avis, donc c'est plus dur
ou peut-être qu'on peut trouver une condition sur cette fonction pour qu'il n'y en ait qu'une mais je ne sais pas du tout laquelle.


Bon je n'ai pas fait la démonstration mais j'ai réfléchi...

je prends $F$ de $\mathbb{R}^d$ dans $\mathbb{R}$ telle que $F$ est croissante et continue à droite en chaque variable dans le sens suivant :
pour chaque $i \in \{1,...,d\}$, pour chaque $(t_1,...,t_{i-1},t_{i+1},...,t_d) \in \mathbb{R}^{d-1}$, la fonction $t \mapsto F(t_1,...,t_{i-1},t,t_{i+1},...t_d)$ est croissante et continue à droite,

alors pour $a_i<b_i$, je pose $vol_F=(\prod_{i=1,...,d}]a_i,b_i])=\prod_{i=1,...,d} (F_i(b_i) -F_i(a_i))$ où pour tout $i$, $F_i$ est définie par $F_i(t)=F(0,...,0,t,0,...,0) avec $t$ en i-ème position.

Si je ne me trompe pas (je ne l'ai pas fait!!!) , $vol_F$ vérifie ce qu'il faut sur les hyperpavés pour être prolongée sur la tribu borélienne en une mesure positive qui sera alors une mesure de Borel.

Réciproquement, si $\mu$ mesure de Borel, j'ai envie de poser $F(t_1,...,t_d)=\mu(\prod_{i=1,...d} ]0,t_i])$ pour tout $t \in \mathbb{R}^d$. Je pense que cette fonction vérifie ce qu'il faut.

Si on prend deux de telles fonctions on devrait trouver qu'elles ne diffèrent que d'une constante.

Est-ce une bonne démarche selon vous?

P.S : mon dernier message n'est pas bien passé!?
Re: Mesures de Stieltjes sur R^d
il y a dix années
je ne sais pas si vous avez mon texte mais moi il a disparu et j'ai la flemme de retaper

j'espère que vous l'avez il
n'apparait pas chez moi sad smiley

merci d'avance :)
Pour un dollar de plus,
Re: Mesures de Stieltjes sur R^d
il y a dix années
coucou le revoila :


bonjour,

pour remarque, pour une mesure réelle, il faut deux fonctions pour la représenter à mon avis, donc c'est plus dur
ou peut-être qu'on peut trouver une condition sur cette fonction pour qu'il n'y en ait qu'une mais je ne sais pas du tout laquelle.


Bon je n'ai pas fait la démonstration mais j'ai réfléchi...

je prends $F$ de $\mathbb{R}^d$ dans $\mathbb{R}$ telle que $F$ est croissante et continue à droite en chaque variable dans le sens suivant :
pour chaque $i \in \{1,...,d\}$, pour chaque $(t_1,...,t_{i-1},t_{i+1},...,t_d) \in \mathbb{R}^{d-1}$, la fonction $t \mapsto F(t_1,...,t_{i-1},t,t_{i+1},...t_d)$ est croissante et continue à droite,

alors pour $a_i<b_i$, je pose $vol_F=(\prod_{i=1,...,d} ]a_i,b_i])=\prod_{i=1,...,d} (F_i(b_i) -F_i(a_i))$ où pour tout $i$, $F_i$ est définie par $F_i(t)=F(0,...,0,t,0,...,0)$ avec $t$ en i-ème position.

Si je ne me trompe pas (je ne l'ai pas fait!!!) , $vol_F$ vérifie ce qu'il faut sur les hyperpavés pour être prolongée sur la tribu borélienne en une mesure positive qui sera alors une mesure de Borel.

Réciproquement, si $\mu$ mesure de Borel, j'ai envie de poser $F(t_1,...,t_d)=\mu(\prod_{i=1,...d} ]0,t_i])$ pour tout $t \in \mathbb{R}^d$. Je pense que cette fonction vérifie ce qu'il faut.

Si on prend deux de telles fonctions on devrait trouver qu'elles ne diffèrent que d'une constante.

Est-ce une bonne démarche selon vous?
Re: Mesures de Stieltjes sur R^d
il y a dix années
avatar
Vite fait : Non, ta formule avec le produit est fausse ! Il n'y aucune raison de pouvoir reconstituer $F$ à partir des $F_i$ (prends $\mu$ à densité $f$ nulle au voisinage des axes mais non nulle ailleurs..) ; la bonne condition est celle que j'ai écrite, et la formule qui permet de retrouver $\mu$ est additive et pas multiplicative : $\mu( \prod ]a_i,b_i])=\sum_{x \in S} \varepsilon(x) F(x)$ (cf post précédent pour les notations) par exemple en dimension $2$ : $\mu(]a,b] \times ]a',b'])=F(b,b')-F(a,b')-F(a',b)+F(a,a')$ je te laisse voir pourquoi (c'est l'algèbre facile sur les pavés de $\R^d$, ça se voit encore mieux avec un dessin). C'est pour ça que la condition de croissance a cette forme-là, la condition de croissance en chaque variable n'est pas suffisante (imagine par exemple que $F(a,a')=0, F(b,b')=1, F(a,b')=F(a',b)=2/3$).

Ta formule avec le produit ne marche que pour.. des mesures-produit, pour lesquelles on peut retrouver tout $\mu$ à partir de "mesures marginales" (en termes probabilistes tu ne peux retrouver la loi jointe à partir des seules lois marginales qu'en cas d'indépendance).

Sinon dans ta définition de $F$ à partir de $\mu$ tu fais quoi si tous les $a_i$ ne sont pas de même signe ? Il faut le préciser.

Effectivement comme le dit alekk dans le cas des mesures de proba sur $[0,1]^d$ c'est très bien documenté dans la littérature sur les copules, il reste à voir si ça s'étend bien à des mesures de Borel quelconques.
Re: Mesures de Stieltjes sur R^d
il y a dix années
avatar
Citation

pour remarque, pour une mesure réelle, il faut deux fonctions pour la représenter à mon avis, donc c'est plus dur
ou peut-être qu'on peut trouver une condition sur cette fonction pour qu'il n'y en ait qu'une mais je ne sais pas du tout laquelle.

Dans $\R$, les deux mesures étant de support disjoint, je me demande si la différence des deux fonctions ne fait pas l'affaire.
Re: Mesures de Stieltjes sur R^d
il y a dix années
les deux mesures sont forcément à support disjoints?
Re: Mesures de Stieltjes sur R^d
il y a dix années
avatar
Ben oui. Je parle de la décomposition de Hahn.
Re: Mesures de Stieltjes sur R^d
il y a dix années
ok ok

je connais (cf Rudin et autres...) mais je me rappelle plus bien

je dois dire que j'ai pas eu trop le temps de regarder tout ça correctement cette semaine car j'ai repris le travail
il faudra attendre ce week-end pour que je m'y penche vraiment

merci en tout cas
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