Mesures de Stieltjes sur R^d
bonsoir
je me pose une question (encore...)
sur $(\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R}))$ les mesures de Borel sont les mesure de Stieltjes et chacune d'entre-elles peut-être représentée par une fonction de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ croissante et continue à droite, unique à translation près
existe-t-il un théorème similaire sur $(\mathbb{R}^d,\mathcal{B}(\mathbb{R}^d))$ ?
par exemple :
si $\mu$ est une mesure de Borel sur $(\mathbb{R}^d,\mathcal{B}(\mathbb{R}^d))$ il existe une fonction $F$ de $\mathbb{R}^d$ dans $\mathbb{R}$ vérifiant certaines conditions et qui représente $\mu$ dans le sens suivant :
$$\mu(\prod_{i=1,...,d} ]a_i,b_i])=\prod_{i=1,...,d} (F_i(b_i)-F_i(a_i))$$
pour tout produit d'intervalles
ce théorème existe-t-il?
je me pose une question (encore...)
sur $(\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R}))$ les mesures de Borel sont les mesure de Stieltjes et chacune d'entre-elles peut-être représentée par une fonction de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ croissante et continue à droite, unique à translation près
existe-t-il un théorème similaire sur $(\mathbb{R}^d,\mathcal{B}(\mathbb{R}^d))$ ?
par exemple :
si $\mu$ est une mesure de Borel sur $(\mathbb{R}^d,\mathcal{B}(\mathbb{R}^d))$ il existe une fonction $F$ de $\mathbb{R}^d$ dans $\mathbb{R}$ vérifiant certaines conditions et qui représente $\mu$ dans le sens suivant :
$$\mu(\prod_{i=1,...,d} ]a_i,b_i])=\prod_{i=1,...,d} (F_i(b_i)-F_i(a_i))$$
pour tout produit d'intervalles
ce théorème existe-t-il?
Réponses
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Salut,
Le théorème dont tu rêves existe, je l'ai rencontré..
D'abord on remarque que la connaissance de $\mu$ sur le pavés semi-ouverts que tu as décrits suffit à caractériser $\mu$, par le théorème des classes monotones. Ensuite on essaye de caractérier $F$, suffisamment pour avoir une réciproque ; sauf erreur il suffit d'avoir $F$ mesurable, continue à droite en chaque variable et "croissante" au sens suivant : $\sum_{x \in S} \varepsilon(x) F(x) \geq 0$, pour tout $S=\{a_1,b_1\} \times \cdots \{a_d,b_d\}$ et où $\varepsilon(x)=\mathrm{Card} \{i \, | \, x_i=a_i\}$, pour avoir l'existence de $\mu$, mais je vais essayer de retrouver l'énoncé précis. Enfin tu peux noter qu'au sens des distributions on a $\mu = \frac{\partial^d}{\partial x_1 \cdots \partial x_d} F$, ça peut servir. -
Et Dieu créa egoroff...
-
Euh merci Sylvain mais n'exagérons rien ::o Je n'ai fait que raconter un vague souvenir de résultat à watanuki (mais je vais essayer d'être plus précis prochainement).
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Mesures de Borel positives, I presume?
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oui
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I thought so. Mais comme une mesure réelle se décompose en partie positive et partie négative, ce n'était qu'un petit pinaillage pour le plaisir.
-
on parle souvent de cela dans les bouquin (ou wiki) sur les copules (probabilite) ...
-
bonjour,
pour remarque, pour une mesure réelle, il faut deux fonctions pour la représenter à mon avis, donc c'est plus dur
ou peut-être qu'on peut trouver une condition sur cette fonction pour qu'il n'y en ait qu'une mais je ne sais pas du tout laquelle.
Bon je n'ai pas fait la démonstration mais j'ai réfléchi...
je prends $F$ de $\mathbb{R}^d$ dans $\mathbb{R}$ telle que $F$ est croissante et continue à droite en chaque variable dans le sens suivant :
pour chaque $i \in \{1,...,d\}$, pour chaque $(t_1,...,t_{i-1},t_{i+1},...,t_d) \in \mathbb{R}^{d-1}$, la fonction $t \mapsto F(t_1,...,t_{i-1},t,t_{i+1},...t_d)$ est croissante et continue à droite,
alors pour $a_i<b_i$, je pose $vol_F=(\prod_{i=1,...,d}]a_i,b_i])=\prod_{i=1,...,d} (F_i(b_i) -F_i(a_i))$ où pour tout $i$, $F_i$ est définie par $F_i(t)=F(0,...,0,t,0,...,0) avec $t$ en i-ème position.
Si je ne me trompe pas (je ne l'ai pas fait!!!) , $vol_F$ vérifie ce qu'il faut sur les hyperpavés pour être prolongée sur la tribu borélienne en une mesure positive qui sera alors une mesure de Borel.
Réciproquement, si $\mu$ mesure de Borel, j'ai envie de poser $F(t_1,...,t_d)=\mu(\prod_{i=1,...d} ]0,t_i])$ pour tout $t \in \mathbb{R}^d$. Je pense que cette fonction vérifie ce qu'il faut.
Si on prend deux de telles fonctions on devrait trouver qu'elles ne diffèrent que d'une constante.
Est-ce une bonne démarche selon vous? -
bonjour,
pour remarque, pour une mesure réelle, il faut deux fonctions pour la représenter à mon avis, donc c'est plus dur
ou peut-être qu'on peut trouver une condition sur cette fonction pour qu'il n'y en ait qu'une mais je ne sais pas du tout laquelle.
Bon je n'ai pas fait la démonstration mais j'ai réfléchi...
je prends $F$ de $\mathbb{R}^d$ dans $\mathbb{R}$ telle que $F$ est croissante et continue à droite en chaque variable dans le sens suivant :
pour chaque $i \in \{1,...,d\}$, pour chaque $(t_1,...,t_{i-1},t_{i+1},...,t_d) \in \mathbb{R}^{d-1}$, la fonction $t \mapsto F(t_1,...,t_{i-1},t,t_{i+1},...t_d)$ est croissante et continue à droite,
alors pour $a_i<b_i$, je pose $vol_F=(\prod_{i=1,...,d}]a_i,b_i])=\prod_{i=1,...,d} (F_i(b_i) -F_i(a_i))$ où pour tout $i$, $F_i$ est définie par $F_i(t)=F(0,...,0,t,0,...,0) avec $t$ en i-ème position.
Si je ne me trompe pas (je ne l'ai pas fait!!!) , $vol_F$ vérifie ce qu'il faut sur les hyperpavés pour être prolongée sur la tribu borélienne en une mesure positive qui sera alors une mesure de Borel.
Réciproquement, si $\mu$ mesure de Borel, j'ai envie de poser $F(t_1,...,t_d)=\mu(\prod_{i=1,...d} ]0,t_i])$ pour tout $t \in \mathbb{R}^d$. Je pense que cette fonction vérifie ce qu'il faut.
Si on prend deux de telles fonctions on devrait trouver qu'elles ne diffèrent que d'une constante.
Est-ce une bonne démarche selon vous?
P.S : mon dernier message n'est pas bien passé!? -
je ne sais pas si vous avez mon texte mais moi il a disparu et j'ai la flemme de retaper
j'espère que vous l'avez il
n'apparait pas chez moi :-(
merci d'avance -
coucou le revoila :
bonjour,
pour remarque, pour une mesure réelle, il faut deux fonctions pour la représenter à mon avis, donc c'est plus dur
ou peut-être qu'on peut trouver une condition sur cette fonction pour qu'il n'y en ait qu'une mais je ne sais pas du tout laquelle.
Bon je n'ai pas fait la démonstration mais j'ai réfléchi...
je prends $F$ de $\mathbb{R}^d$ dans $\mathbb{R}$ telle que $F$ est croissante et continue à droite en chaque variable dans le sens suivant :
pour chaque $i \in \{1,...,d\}$, pour chaque $(t_1,...,t_{i-1},t_{i+1},...,t_d) \in \mathbb{R}^{d-1}$, la fonction $t \mapsto F(t_1,...,t_{i-1},t,t_{i+1},...t_d)$ est croissante et continue à droite,
alors pour $a_i<b_i$, je pose $vol_F=(\prod_{i=1,...,d} ]a_i,b_i])=\prod_{i=1,...,d} (F_i(b_i) -F_i(a_i))$ où pour tout $i$, $F_i$ est définie par $F_i(t)=F(0,...,0,t,0,...,0)$ avec $t$ en i-ème position.
Si je ne me trompe pas (je ne l'ai pas fait!!!) , $vol_F$ vérifie ce qu'il faut sur les hyperpavés pour être prolongée sur la tribu borélienne en une mesure positive qui sera alors une mesure de Borel.
Réciproquement, si $\mu$ mesure de Borel, j'ai envie de poser $F(t_1,...,t_d)=\mu(\prod_{i=1,...d} ]0,t_i])$ pour tout $t \in \mathbb{R}^d$. Je pense que cette fonction vérifie ce qu'il faut.
Si on prend deux de telles fonctions on devrait trouver qu'elles ne diffèrent que d'une constante.
Est-ce une bonne démarche selon vous? -
Vite fait : Non, ta formule avec le produit est fausse ! Il n'y aucune raison de pouvoir reconstituer $F$ à partir des $F_i$ (prends $\mu$ à densité $f$ nulle au voisinage des axes mais non nulle ailleurs..) ; la bonne condition est celle que j'ai écrite, et la formule qui permet de retrouver $\mu$ est additive et pas multiplicative : $\mu( \prod ]a_i,b_i])=\sum_{x \in S} \varepsilon(x) F(x)$ (cf post précédent pour les notations) par exemple en dimension $2$ : $\mu(]a,b] \times ]a',b'])=F(b,b')-F(a,b')-F(a',b)+F(a,a')$ je te laisse voir pourquoi (c'est l'algèbre facile sur les pavés de $\R^d$, ça se voit encore mieux avec un dessin). C'est pour ça que la condition de croissance a cette forme-là, la condition de croissance en chaque variable n'est pas suffisante (imagine par exemple que $F(a,a')=0, F(b,b')=1, F(a,b')=F(a',b)=2/3$).
Ta formule avec le produit ne marche que pour.. des mesures-produit, pour lesquelles on peut retrouver tout $\mu$ à partir de "mesures marginales" (en termes probabilistes tu ne peux retrouver la loi jointe à partir des seules lois marginales qu'en cas d'indépendance).
Sinon dans ta définition de $F$ à partir de $\mu$ tu fais quoi si tous les $a_i$ ne sont pas de même signe ? Il faut le préciser.
Effectivement comme le dit alekk dans le cas des mesures de proba sur $[0,1]^d$ c'est très bien documenté dans la littérature sur les copules, il reste à voir si ça s'étend bien à des mesures de Borel quelconques. -
pour remarque, pour une mesure réelle, il faut deux fonctions pour la représenter à mon avis, donc c'est plus dur
ou peut-être qu'on peut trouver une condition sur cette fonction pour qu'il n'y en ait qu'une mais je ne sais pas du tout laquelle.
Dans $\R$, les deux mesures étant de support disjoint, je me demande si la différence des deux fonctions ne fait pas l'affaire. -
les deux mesures sont forcément à support disjoints?
-
Ben oui. Je parle de la décomposition de Hahn.
-
ok ok
je connais (cf Rudin et autres...) mais je me rappelle plus bien
je dois dire que j'ai pas eu trop le temps de regarder tout ça correctement cette semaine car j'ai repris le travail
il faudra attendre ce week-end pour que je m'y penche vraiment
merci en tout cas
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Bonjour!
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