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éléments finis

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doc
éléments finis
il y a dix années
Bonjour,
svp, soit $V_h$ un espace de dimension finie, $dim V_h=N_h.$ On considére le problème $\text { trouver } u_h \in V_h \text { tel que } a(u_h,v_h)=L(v_h), \forall v_h \in V_h.$
On introduit une base $(\phi_j)_{1 \leq j \leq N_h}$ de $V_h.$
Si $u_h = \sum_{j=1}^{N_h} u_j \phi_j,$ on pose $U_h= (u_1,...,u_{N_h})$ le vecteur dans $\mathbb{R}^{N_h}$ des coordonnées de $u_h.$
Alors je trouve que le problème initial est équivalent au problème $\text { trouver } U_h \in \mathbb{R}^{N_h} \text { tel que } a(\sum_{j=1}^{N_h}u_j \phi_j, \sum_{i=1}^{N_h}v_i \phi_i)=L(\sum_{i=1}^{N_h} \phi_i)$
mais, les auteurs trouvent qu'il est équivalent au problème Le problème est équivalent au problème $\text { trouver } U_h \in \mathbb{R}^{N_h} \text { tel que } a(\sum_{j=1}^{N_h} u_j \phi_j, \phi_i)=L(\phi_i), \forall 1 \leq i \leq N_h$
Les auteurs ont du vouloir dire qu'il y'a convention de sommation sur $i.$ Non?
Je vous remercie d'avance pour votre aide.
doc
Re: éléments finis
il y a dix années
Alors je crois qu'il y'a convention de sommation sur $i$ mais et les $v_i$ pourquoi ne sont ils pas dans la formule svp?
Je vous remercie d'avance pour toute votre aide.
Re: éléments finis
il y a dix années
avatar
Salut,

Il me semble que tu as bon dans ta reformulation (à un oubli de $v_i$ près dans $L$), mais l'idée c'est que puisque la relation que tu veux vérifier est linéaire, il suffit de la vérifier sur une base.
doc
Re: éléments finis
il y a dix années
Bonjour,
bonjour monsieur Egoroff :)
Svp, la base est représentée par $(\phi_i)_{0 \leq i \leq p}.$ Et donc, les $v_i$ représentent les scalaires.
Je crois qu'en prenant la formule $a\left(\sum_{j=1}^{N_h} u_j \phi_j, \sum_{i=1}^{N_h} v_i \phi_i \right) = L \left(\sum_{i=1}^{N_h} \phi_i v_i \right),$ puisqu'elle est linéaire, alors on écrit $\sum_{i=1}^{N_h} v_i a\left(\sum_{j=1}^{N_h} u_j \phi_j, \phi_i \right) = \sum_{i=1}^{N_h} v_i L \left(\phi_i\right)$ et on simplifit $\sum_{i=1}^{N_h} v_i $ des deux cotés. Ce qui nous donne la formule $a\left(\sum_{j=1}^{N_h}u_j \phi_j, \phi_i \right) = L (\phi_i), \forall 1 \leq i \leq N_h.$
C'est correct svp?
En vous remerciant d'avance pour votre aide.
Re: éléments finis
il y a dix années
avatar
doc
Re: éléments finis
il y a dix années
Oups !
J'ai surement fait une bêtise. Mais svp, je n'ai pas compris lorsque vous avez dit qu'il suffisait de vérifier la relation sur une base. Parce qu'ils n'utilisent qu'une base $(\phi_i)$ et se sont les $v_i$ qui disparaissent.
En vous remerciant pour toute votre aide ainsi que pour votre patience.
doc
Re: éléments finis
il y a dix années
Bonsoir,
svp, qu'elle est l'erreur que j'ai faite?
En vous remerciant pour votre aide ainsi que pour votre patience.
Re: éléments finis
il y a dix années
avatar
Citation

on simplifit $\sum_{i=1}^{N_h} v_i $ des deux cotés.

Ce n'est pas un facteur commun ! D'où les eye popping smileyeye popping smileyeye popping smiley d'egoroff auxquels j'ajoute un sad smiley
doc
Re: éléments finis
il y a dix années
Bonjour,
d'accord! ca m'enléve l'expression eye popping smiley
svp, mais qu'est ce qu'on veut dire par "ils ont enlevé les $v_i$ car comme le problème est linéaire, il suffit de le vérifier sur une seule base"?
En vous remerciant pour toute votre aide ainsi que pour votre patience.
Re: éléments finis
il y a dix années
avatar
Doc : tu as deux applications linéaires $f$ et $g$ sur un espace vectoriel $E$, et une base $(e_i)$ de $E$ ; dire que $f=g$, i.e. que $f(x)=g(x)$ pour tout $x \in E$, est équivalent à dire que $f(e_i)=g(e_i)$ pour tout $i$. C'est un fait élémentaire d'algèbre linéaire. Pour le sens $\Rightarrow$ c'est très facile puisqu'il suffit de particulariser le "pour tout $x \in E$" à "pour tout $e_i$", et dans l'autre sens tu prends un $x$ quelconque, tu le décompose dans la base et tu utilises la linéarité de $f$ et $g$.
doc
Re: éléments finis
il y a dix années
Bonjour,
bonjour monsieur Egoroff.
Merci pour m'avoir expliqué.
Donc, on a $a\left(\phi_j,\phi_i\right)= L(\phi_i)$ qui est équivalent à $a\left(\sum_{j=1}^n u_j \phi_j, \phi_i \right) = L(\phi_i) \text { pour tous } i \in \{1,...,N_h\}$ grace à la bilinéarité de $a$ et la linéarité de $u.$
Svp, pn peut écrire ce problème sous la forme matricielle suivante $K_h U_h = b_h$ avec $(K_h)_{ij} = a(\phi_i,\phi_j)$ et $(b_h)_i = L(\phi_i)$ et $U_h=(u_1,...,u_{N_h})$ est le vecteur dans $\mathbb{R}^{N_h}$ des coordonnées de $u_h.$
On suppose que $a$ est coércive et on voudrait montrer que celà implique que la matrice $K_h$ est définie positive. Pour ca, on doit montrer que $\exists C > 0, K_h U_h . U_h \geq C |U_h|^2.$
Mais voilà, j'ai des difficultés à écrire correctement $K_h U_h.U_h.$
J'ai essayé avec $K_h U_h.U_h = a\left(\sum_{j=1}^{N_h} u_j \phi_j,\phi_i\right). U_h$ en sachant que $\left((K_h U_h). U_h\right)_i = \sum_{j=1}^{N_h} (K_h U_h)_{ij} (U_h)_j.$ Mais je n'arrive pas à conbiner entre la linéarité de $a$ et sa coércivité.
En vous remerciant pour toute votre aide ainsi que pour votre patience.
Re: éléments finis
il y a dix années
avatar
Citation

J'ai essayé avec $K_h U_h.U_h = a\left(\sum_{j=1}^{N_h} u_j \phi_j,\phi_i\right). U_h$ en sachant que $\left((K_h U_h). U_h\right)_i = \sum_{j=1}^{N_h} (K_h U_h)_{ij} (U_h)_j.$

Sachant que $K_h U_h.U_h$ est un scalaire, $ a\left(\sum_{j=1}^{N_h} u_j \phi_j,\phi_i\right)$ est un scalaire, $U_h$ est un vecteur, rien de tout ceci n'est cohérent. Fais un plus attention à la nature des objets, ça t'évitera des écritures absurdes (en plus d'être fausses).
doc
Re: éléments finis
il y a dix années
Bonsoir,
bonsoir monsieur Remarque.
Svp, mais dans l'écriture du problème variationnel en problème matricielle, on a noté que $K_h U_u=b_h$ avec $(K_h)_{ij} = a(\phi_j, \phi_i).$
Svp, là je n'arrive pas dutout à écrire tout ca correctement. Une petite aide svp?
En vous remerciant pour toute votre aide ainsi que pour votre patience.
Re: éléments finis
il y a dix années
avatar
Ca c'est correct. Le seul truc à voir, c'est que $U_h$ est le vecteur de $\R^{N_h}$ de composantes $u_i$, et que $u_h=\sum_{i}u_i\phi_i$. A partir de là, tout ça est très simple.
doc
Re: éléments finis
il y a dix années
Bonsoir,
svp, alors on a $K_h U_h. U_h = \sum_{j=1}^{N_h} (K_h)_{ij} u_j.u_j = \sum_{j=1}^{N_h} a(\phi_j,\phi_i) u^2_j.$
C'est bien ca svp?
En vous remerciant pour toute votre aide ainsi que pour votre patience.
Re: éléments finis
il y a dix années
avatar
Non. Ce n'est pas cohérent encore. Regarde un peu tes indices.
doc
Re: éléments finis
il y a dix années
Bonsoir,
bonsoir monsieur Remarque.
Alors on a: $(K_h U_h)_i = \sum_{j=1}^{N_h} a(\phi_j,\phi_i) u_j,$ donc $(K_h U_h)_i .(U_h)_i = \sum_{j=1}^{N_h} a(\phi_j,\phi_i) u_j^2.$
En vous remerciant pour toute votre aide ainsi que pour votre patience.
Re: éléments finis
il y a dix années
avatar
Il y a un poil de mieux dans tes indices, mais tu pèches toujours à la finition, comme disent les commentateurs à propos de l'équipe de France.
doc
Re: éléments finis
il y a dix années
Bonsoir,
bonsoir monsieur Remarque.
Svp, je ne vois pas ce qui cloche dans les indices.
La relation $(K_h U_h)_i .(U_h)_i = \sum_{j=1}^{N_h} a(\phi_j,\phi_i) u_j^2.$ est vérifiée pour tout $i.$
Que faut-il ajouter svp?
En vous remerciant pour votre aide ainsi que pour votre patience.
Re: éléments finis
il y a dix années
avatar
Non. Chausse tes lunettes et regarde mieux.

Citation

Alors on a: $(K_h U_h)_i = \sum_{j=1}^{N_h} a(\phi_j,\phi_i) u_j,$

et $(U_h)_i =??$.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a dix années et a été effectuée par remarque.
doc
Re: éléments finis
il y a dix années
Alors on a:
$(K_h U_h.U_h)_i = \sum_{j=1}^{N_h} a(\phi_j,\phi_i) u_j u_i.$
C'est bien ca svp?
En vous remerciant pour votre aide ainsi que pour votre patience.
Re: éléments finis
il y a dix années
avatar
Argh ! $K_h U_h.U_h$ est un scalaire ! Qu'est-ce que c'est que cette composante $i$ ? Une bonne fois pour toutes $K_h$ est une matrice et $U_h$ un vecteur.
doc
Re: éléments finis
il y a dix années
Oui, c'est comme ça que j'ai développé. En prenant par exemple $N_h=3,$ on a $$
(K_h)_{ij}=
\begin{pmatrix}
a(\phi_1,\phi_1) & a(\phi_2,\phi_1) & a(\phi_3,\phi_1)\\
a(\phi_1,\phi_2) & a(\phi_2,\phi_2) & a(\phi_3,\phi_2)\\
a(\phi_1,\phi_3) & a(\phi_2,\phi_3) & a(\phi_3,\phi_3)
\end{pmatrix}\qquad \mathrm{et} \qquad U_h=
\begin{pmatrix}
u_1\\
u_2\\
u_3
\end{pmatrix}
$$
alors la première ligne de $K_h U_h$ est $a(\phi_1,\phi_1) u_1 + a(\phi_2,\phi_1) u_2 + a(\phi_3,\phi_1) u_3.$
Jusque là, c'est correct normalement. Non ?
En vous remerciant pour toute votre aide ainsi que pour votre patience.
Re: éléments finis
il y a dix années
avatar
OK, c'est ça.
doc
Re: éléments finis
il y a dix années
Bonjour,
svp, alors $$K_h U_h.U_h = \sum_{j=1}^{N_h} \left[\sum_{i=1}^{N_h} a(\phi_j,\phi_i) u_j.u_i \right]$$
C'est bien ca svp?
En vous remerciant pour toute votre aide ainsi que pour votre patience.
Re: éléments finis
il y a dix années
avatar
Oui, mais pourquoi t'arrêtes-tu en plein milieu du calcul ? On a l'impression que tu avances d'une étape infinitésimale à chaque fois et puis stop ! Tu n'oses plus continuer, paralysée par la crainte de faire une erreur. Ce n'est pas grave de faire des erreurs, du moment que l'on est capable de les détecter soi-même, par exemple en vérifiant la cohérence de ce que l'on écrit.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a dix années et a été effectuée par AD.
doc
Re: éléments finis
il y a dix années
Bonjour,
bonjour monsieur Remarque.
Excusez-moi svp, j'ai mélangé les indices et aussi les parenthéses.
On a: $$K_h U_h. U_h = \sum_{i=1}^{N_h} \left[ \sum_{j=1}^{N_h} a(\phi_j,\phi_i) u_j \right]u_i$$
Je l'ai vérifié avec $N_h=3$ et ca marche.
C'est bien ca svp?
Si oui, aprés, il faut utiliser la coercivité de $a,$ et pour ca, il nous faudrait avoir $a(\phi_j u_j, \phi_i u_i)$ dans la formule pour pouvoir majorer avec $\alpha \| U_h\|^2.$ Mais on n'a pas ca. La seule majoration qui vient à l'ésprit, c'est celle ci: $K_h U_h.U_h \geq a(\phi_j,\phi_i) u_j u_i$ pour un certain $i$ et un certain $j.$
Après, puisque la forme $a$ est bilinéaires, alors on peut écrire que $a(\phi_i, \phi_j) u_i u_j = a(\phi_i u_i, \phi_j u_j).$
Et puis, il y'a le probléme des indices $i$ et $j$ qui revient.
Y-a-t-il un moyen de s'en débarasser svp?
En vous remerciant pour toute votre aide ainsi que pour votre patience.
Re: éléments finis
il y a dix années
avatar
Je ne comprends pas ton problème. Dans la bilinéarité, il n'y a pas que la multiplication par un scalaire. Il y a aussi les sommes.
doc
Re: éléments finis
il y a dix années
Bonsoir,
bonsoir monsieur Remarque.
Svp, alors on a: \begin{align*}
K_h U_h . U_h & = \sum_{i=1}^{N_h} \left[ \sum_{j=1}^{N_h} a(\phi_j,\phi_i) u_j \right] u_i\\
& = a \left( \sum_{j=1}^{N_h} u_j \phi_j, \sum_{j=1}^{N_h} u_j \phi_j\right)\\
& \geq \nu \| \sum_{j=1} ^{N_h} u_j \phi_j \|^2 \geq C | U_h |^2
\end{align*}
En vous remerciant pour toute votre aide ainsi que pour votre patience.
Re: éléments finis
il y a dix années
avatar
Bien. Tu vois, ce n'était pas dur. Un dernier petit point quand même, comment justifies-tu l'existence de la dernière constante $C$ ?
doc
Re: éléments finis
il y a dix années
Bonsoir,
bonsoir monsieur Remarque.
Svp, pour la constante $c.$
On sait que $\|U_h\|^2 = | \sum_{j=1}^{N_h} u_j |^2,$ et que $\| \sum_{j=1}^{N_h} u_j \phi_j \| = \|\sum_{j} u_j\| \| \phi_j\|$
Donc, $C$ devrait etre égale à $\nu . \|\phi_j\|^2.$
En vous remerciant pour toute votre aide ainsi que pour votre patience.
Re: éléments finis
il y a dix années
avatar
Argh ! Non. $\|U_h\|^2 = \sum_{j=1}^{N_h} |u_j |^2,$ et $\red\| \sum_{j=1}^{N_h} u_j \phi_j \| = \|\sum_{j} u_j\| \| \phi_j\|$ !!!

Attention à ne pas retomber dans tes travers familiers (formules incohérentes).
doc
Re: éléments finis
il y a dix années
Svp, alors on a: $\| \sum_{j=1}^{N_h} u_j \phi_j \|^2 = (\|\sum_{j} u_j \| \| \phi_j \| )^2 = \|\sum_{j} u_j \|^2 \|\phi_j \|^ 2 \geq \| \sum_{j} u_j \|^2$
Mais svp, aprés il faut trouver $\sum_{j} |u_j|^2$ dans le second membere. Et nous on trouve $\sum_{j} \| u_j \|^2.$ C'est normal svp?
En vous remerciant pour toute votre aide ainsi que pour votre patience.
Re: éléments finis
il y a dix années
avatar
Mais enfin regarde ce que tu écris ! Tu sors un indice muet $j$ de la somme. Ca n'a pas de sens.
doc
Re: éléments finis
il y a dix années
Oups! Excusez-moi svp, j'ai vu ce que vous aviez écris en rouge.
Svp, on ne peut faire sortir personne de sous le signe norme dans la formule $\| \sum_{j=1}^{N_h} u_j \phi_j \|,$ et pourtant il faut que $\phi_j$ sorte. Comment faire svp?
En vous remerciant pour toute votre aide ainsi que pour toute votre patience.
Re: éléments finis
il y a dix années
avatar
Non, il ne doit pas sortir, car cela n'a pas de sens. Il faut que tu fasses attention à ce que tu as deux normes sur deux espaces complètement différents : la norme $\|U_h\|$ est une norme sur $\R^{N_h}$, alors que la norme $\|\sum u_j\phi_j\|$ est la norme $H^1(\Omega)$. On se restreint à l'espace $V_h$ qui est de dimension $N_h$ et dont les $\phi_j$ forment une base, mais qui n'a aucune propriété particulière d'orthogonalité.

Mais on n'a même pas besoin de ça. On est sur $\R^{N_h}$ et on a une forme quadratique définie positive. Vois-tu pourquoi ? Et pourquoi cela donne une constante $C$ ?
doc
Re: éléments finis
il y a dix années
Bonjour,
bonjour monsieur Remarque.
Svp, une forme quadratique est un polynome homogéne de degré 2 avec un nombre queslconque de variables.
Mais ici, on cherche à prouver que cette forme est définie positive et donc l'existence de $C.$ Svp, je ne vois aucun moyen direct pour ca, et on ne peut pas utiliser les particularités des normes. Où est l'astuce svp?
En vous remerciant pour toute votre aide ainsi que pour votre patience.
Re: éléments finis
il y a dix années
avatar
Ben ! Quelle est la définition d'une forme quadratique définie positive ? Je parle de $K_hU_h\cdot U_h$, bien sûr.
doc
Re: éléments finis
il y a dix années
Bonsoir,
bonsoir monsieur Remarque.
$K_h U_h . U_h$ est une forme qudratique définie positive si $\exists C > 0, K_h U_h.U_h > C | U_h|^2.$
En vous remerciant pour toute votre aide ainsi que pour votre patience.
Re: éléments finis
il y a dix années
avatar
Non. La définition est en deux morceaux : positive d'une part, et définie d'autre part. La conclusion est qu'il existe une telle constante $C$, à l'aide d'un argument de compacité en dimension finie.
doc
Re: éléments finis
il y a dix années
Svp, on doit montrer que la forme quadratique $K_h U_h.U_h$ est définie positive en utilisant la coecivité de $a.$
Comme on est dans un espace de dimension finie, on peut dire que toute suite convergente est bornée.
Donc, on pourrait conclure que $\exists C > 0, |U_h|^2 < C.$ Mais en fait non, pourquoi compliquer avec la convergence puisqu'on ne sait meme pas si elle est convergente.
Svp, un peetite piste svp.
En vous remerciant pour toute votre aide ainsi que pour votre patience.
Re: éléments finis
il y a dix années
avatar
Hein ?? N'importe quoi ! Tu es en train de te mélanger les pinceaux. Qu'est-ce que tu veux montrer, et qu'est-ce que tu sais ?

Sinon, tu pourrais essayer d'utiliser une inégalité qui découle facilement de la continuité d'une certaine application linéaire.
Re: éléments finis
il y a dix années
avatar
Oui, convergence de quoi ?

Mais oui, c'est la coercivité de $a$ qui entraîne que la forme quadratique est définie positive. Mais comme tu n'as pas écrit la définition de définie positive, on aimerait savoir pourquoi c'est vrai !
doc
Re: éléments finis
il y a dix années
Bonjour,
excusez-moi svp, j'ai parcouru tout le cours de Girault que j'ai trouvé sur le net, et je n'ai pas trouvé une définition correcte d'une forme quadratique définie positive. Et je la connaissais mais je n'arrive plus à m'en souvenir ni à mettre la main déçue. sad smiley
Je vous remercie d'avance pour toute votre aide ainsi que toute votre patience.



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a dix ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par AD.
Re: éléments finis
il y a dix années
avatar
C'est normal que tu n'aies pas trouvé ça là. C'est une notion beaucoup plus élémentaire, niveau L2 maximum. Bon, après lecture en hyperdiagonale, ce n'est pas très bien fait sur ces deux liens, ici et , mais au moins ils sont là. Il faut dire que je n'ai pas cherché très loin, with your friend Google.
doc
Re: éléments finis
il y a dix années
Bonjour,
svp, oui je me rapelle maintenant, c'est cette définition qu'on utilisait:
$M$ est une matrice définie positive si elle vérifie la condition suivante:
pour toute matrice colonne $X$ à $n$ éléments réels, on a: $$X^T M X > 0$$
Alors ici, $K_h$ est une matrice, donc pour montrer qu'elle est définie positive on montre que $X^T K_h X > 0$
Mais svp, on sait lancé dans la preuve que $K_h U_h . U_h \geq C |U_h|^2.$ Pourquoi svp?
En vous remerciant pour toute votre patience, votre aide ainsi que pour votre patience.
Re: éléments finis
il y a dix années
avatar
Citation

Pourquoi svp?

Ben je ne sais pas : c'est toi qui a lancé ça. C'est inutile en effet pour montrer que la forme quadratique est définie positive, et de toutes façons, c'est une conséquence automatique du caractère défini positif en dimension finie.
doc
Re: éléments finis
il y a dix années
Bonsoir,
bonsoir monsieur Remarque.
Svp, ils ont dis ceci: "la coécivité de la forme bilinéaire $a(u,v)$ entraine le caractére défini positif de la matrice $K_h,$ et donc son inversibilité. En effet, pour tout vecteur $U_n \in \mathbb{R}^{N_h}$ on a $$K_h U_h . U_h \geq \nu \left\|\| \sum_{j=1}^{N_h} u_j \phi_j \right\|^2 \geq C |U_h|^2 \text { avec } C > 0$$
car toutes les normes sont équivalentes en dimension finie ($|.|$ désigne la norme euclidienne dans $\mathbb{R}^N$)."
Svp, je ne vois plus le rapport entre la définition d'une matrice définie positive qu'on a vu plus haut et la méthode qu'ils ont utilisé. Je suis vraiment perdue.
En vous remerciant pour toute votre aide ainsi que pour toute votre patience.
Re: éléments finis
il y a dix années
avatar
Citation

la coécivité de la forme bilinéaire entraine le caractére défini positif de la matrice et donc son inversibilité.

Ca c'est vrai. Mais la suite à partir de « En effet...» est rédigée maladroitement. Il suffit de dire que
$$K_hU_h\cdot U_h=a(u_h,u_h)\ge \alpha \|u_h\|^2_{H^1}$$
avec $\alpha>0$, pour conclure que si $U_h\neq 0$, alors $u_h\neq0$ et donc $K_hU_h\cdot U_h>0$. Le reste ne sert à rien et est de toutes façons automatique, donc bof.
doc
Re: éléments finis
il y a dix années
Merci beaucoup monsieur Remarque!!!:)
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