intégrale de Wiener

Salut,

Quelle est la question précisément ? Tu veux caractériser la loi du processus ? En effet pour un processus gaussien la loi est entièrement caractérisée par la fonction moyenne $t \mapsto \mathbb{E}(Z_t)$ et la fonction de covariance $(s,t) \mapsto \mathrm{Cov}(Z_s,Z_t)$, c'est à ça que tu faisais référence ?

En tant qu'intégrale de Wiener, ton processus est centré (ça c'est fait pour la moyenne), à accroissements gaussiens et indépendants. Commence par calculer la variance de $Z_t$, ça c'est facile. Ensuite pour calculer la fonction de covariance tu supposes $s<t$ et tu écris $Z_t=Z_s+(Z_t-Z_s)$, d'où $\mathrm{Cov}(Z_t,Z_s)=\cdots$ (utilise l'indépendance des accroissements).

Ca revient à montrer que $\int_a^b f(s) dB_s$ et $\int_c^d g(s) dB_s$ sont indépendants dès que $b \leq c$ ; pour le montrer tu fais comme d'habitude, tu commences par $f$ et $g$ fonction en escaliers (dans ce cas ça découle simplement de l'indépendance des accroissements de $B$), puis par densité tu étends à toute fonction $L^2$.. bref tu dois connaître la musique si tu as des preuves de ce genre dans ton cours.