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intégrale de Wiener

Envoyé par Sandrine007 
intégrale de Wiener
il y a dix années
J'ai une autre question :
$$Z_t = \sqrt{3} \int_{0}^{t^{1/3}} u \, \mathrm dB_u$$
C'est une intégrale de Wiener, c'est donc un Gaussien.
Seulement, dans ma boite à outil j'ai deux caractérisations de processus Gaussien.
Celle avec les indépendances/covariances et l'autre (tout vecteur de variables aléatoires Gaussiennes indépendantes est un vecteur Gaussien).

Comment caractériser donc ce processus ?
Re: intégrale de Wiener
il y a dix années
avatar
Salut,

Quelle est la question précisément ? Tu veux caractériser la loi du processus ? En effet pour un processus gaussien la loi est entièrement caractérisée par la fonction moyenne $t \mapsto \mathbb{E}(Z_t)$ et la fonction de covariance $(s,t) \mapsto \mathrm{Cov}(Z_s,Z_t)$, c'est à ça que tu faisais référence ?

En tant qu'intégrale de Wiener, ton processus est centré (ça c'est fait pour la moyenne), à accroissements gaussiens et indépendants. Commence par calculer la variance de $Z_t$, ça c'est facile. Ensuite pour calculer la fonction de covariance tu supposes $s<t$ et tu écris $Z_t=Z_s+(Z_t-Z_s)$, d'où $\mathrm{Cov}(Z_t,Z_s)=\cdots$ (utilise l'indépendance des accroissements).
Re: intégrale de Wiener
il y a dix années
absolument, c'est bon pour cet exo,


mais, juste une remarque concernant l'indépendance

si on me demande de montrer pour $X_t = \int_{0}^t f(s)\, \mathrm dB_s$ pour 0 < t =< T
que c'est un PAI,

je dis juste que c'est d'après la caractérisation? (je veux dire si on me demande de le prouver en pratique)
Re: intégrale de Wiener
il y a dix années
avatar
Ca revient à montrer que $\int_a^b f(s) dB_s$ et $\int_c^d g(s) dB_s$ sont indépendants dès que $b \leq c$ ; pour le montrer tu fais comme d'habitude, tu commences par $f$ et $g$ fonction en escaliers (dans ce cas ça découle simplement de l'indépendance des accroissements de $B$), puis par densité tu étends à toute fonction $L^2$.. bref tu dois connaître la musique si tu as des preuves de ce genre dans ton cours.
Re: intégrale de Wiener
il y a dix années
tout à fait,

c'est OK pour cet exo..

merci
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