intégrale de Wiener
dans Analyse
J'ai une autre question :
$$Z_t = \sqrt{3} \int_{0}^{t^{1/3}} u \, \mathrm dB_u$$
C'est une intégrale de Wiener, c'est donc un Gaussien.
Seulement, dans ma boite à outil j'ai deux caractérisations de processus Gaussien.
Celle avec les indépendances/covariances et l'autre (tout vecteur de variables aléatoires Gaussiennes indépendantes est un vecteur Gaussien).
Comment caractériser donc ce processus ?
$$Z_t = \sqrt{3} \int_{0}^{t^{1/3}} u \, \mathrm dB_u$$
C'est une intégrale de Wiener, c'est donc un Gaussien.
Seulement, dans ma boite à outil j'ai deux caractérisations de processus Gaussien.
Celle avec les indépendances/covariances et l'autre (tout vecteur de variables aléatoires Gaussiennes indépendantes est un vecteur Gaussien).
Comment caractériser donc ce processus ?
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Réponses
Quelle est la question précisément ? Tu veux caractériser la loi du processus ? En effet pour un processus gaussien la loi est entièrement caractérisée par la fonction moyenne $t \mapsto \mathbb{E}(Z_t)$ et la fonction de covariance $(s,t) \mapsto \mathrm{Cov}(Z_s,Z_t)$, c'est à ça que tu faisais référence ?
En tant qu'intégrale de Wiener, ton processus est centré (ça c'est fait pour la moyenne), à accroissements gaussiens et indépendants. Commence par calculer la variance de $Z_t$, ça c'est facile. Ensuite pour calculer la fonction de covariance tu supposes $s<t$ et tu écris $Z_t=Z_s+(Z_t-Z_s)$, d'où $\mathrm{Cov}(Z_t,Z_s)=\cdots$ (utilise l'indépendance des accroissements).
mais, juste une remarque concernant l'indépendance
si on me demande de montrer pour $X_t = \int_{0}^t f(s)\, \mathrm dB_s$ pour 0 < t =< T
que c'est un PAI,
je dis juste que c'est d'après la caractérisation? (je veux dire si on me demande de le prouver en pratique)
c'est OK pour cet exo..
merci