Equation difficile
Réponses
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Prends des $a_i$ ou $b_j$ de la forme $e^{it}$ et dérive par rapport à $t$ et tu verras qu'il ya beaucoup d'autres nombres que des nombres complexe de module 1 qui vérifient ton égalité.
Bref oui, cette matrice est nulle.
[La case LaTeX. AD] -
en fait il faut des nombres du type $e^{iut}$ avec $u$ réel, pour multiplier par iu en dérivant.C'est ce que je voulais dire.
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Variante :
Commencer par montrer que tout vecteur de $ \C^n$ peut s'écrire sous la forme $ \rho (u + v)$, où $\rho$ est réel et $u$ et $v$ des vecteurs dont toutes les coordonnées sont de module 1. -
Tiens, le forum se remet à tirer au hasard ses images LaTeX pour l'affichage !
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On doit pouvoir s'en sortir en se limitant à un choix judicieux de a(i)=+-1 et b(j)=1.
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Je vais peut-être dire une énormité mais tant pis : montrer que ladite matrice est invariante par toute transformation unitaire.
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Bonsoir,
La méthode suggérée par Foys semble être juste, mais je n'ai regardé que rapidement (à vérifier par Dereck, donc). La méthode indiquée par RAJ et rectifiée par Ga? me semble plus problématique, je ne crois pas qu'on puisse se contenter de a(i) et b(j) réels. Mais peut-être suis-je pessimiste ?
Bonne nuit à tous. -
Il suffit de vérifier que $\C^n$ est engendré par les $2^n$ vecteurs à coordonnées toutes $\pm1$. - ce qui est tout à fait clair.
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Déjà un grand merci à tous.
J'ai vérifié la méthode de Foys. Par contre je ne comprends pas la méthode de Ga avec son histoire de $\rho (u + v)$. J'ai vraiment envie de la comprendre. -
Bonjour Dereck,
Je t'avais envoyé un message dans la nuit pour dire que j'étais d'accord avec Ga?: un couple de réels, ça donne un complexe... et réciproquement.
Mais mon message s'est perdu corps et bien.
En, fait, le plus simple est de poser A = (ai) et B = (bj), vecteurs colonnes. Si [size=small]T[/size]B est la transposée "réelle" de B (B en ligne), tu as,
en posant c(A,B) = ta somme nulle pour tous A,B de Cn:
0 = c(A,B) = [size=small]T[/size]B.C.A = [size=small]T[/size]A.C.B.
c est une forme bilinéaire C x C -> C nulle en tous points, elle est donc évidemment nulle. Soit C = 0 (matrice nulle).
Bien cordialement. -
Excusez moi encore de vous déranger encore mais je ne comprend pas pourquoi tout élément de $\C^n$ peut s'écrire sous la forme $ \rho (u + v)$, où $ \rho$ est réel et $u$ et $ v$ des vecteurs dont toutes les coordonnées sont de module 1.
Par contre votre dernier commentaire est limpide. On peut résumer la situation par une forme bilinéaire. Cependant comment conclure que si sa restriction à $\mathbb{T}^n \times \mathbb{T}^n$ est nulle alors elle est nulle (avec la "méthode" des +ou -1)?
Un grand grand merci d'avance. -
Pliusieurs questions, Dereck.
Alors plusieurs réponses :
1)Soit $z$ un vecteur de $\C^n$. Alors certainement on peut écrire $z=\rho w$ où $\rho$ est réel et $w$ un vecteur de $\C^n$ dont toutes les coordonnées sont de module $\leq 1$. Soit $w_i$ une des coordonnées de $w$, donc $|w_i|\leq 1$. Alors je prétends qu'on peut trouver $u_i$ et $v_i$ complexes de module 1 tels que $w_i=u_i+v_i$ (indice : $e^{i\alpha} + e^{i\beta} = \ldots$). Il ne reste plus qu'à appeler $u$ le vecteur de coordonnées $u_i$ et $v$ le vecteur de coordonnées $v_i$ pour avoir $z=\rho(u+v)$.
2) C. de Pluquaire a fait une petite erreur en écrivant $0 = c(A,B) = {}^T B\,C\,A = {}^T A\,C\,B$. Il a fait comme si la matrice $C$ était symétrique, c.-à-d. comme si la forme bilinéaire $c$ était symétrique. Ce n'est pas supposé dans l'énoncé. Mais ça ne change rien dans son argument, c'est juste la bilinéarité de $c:\C^n\times\C^n\to \C$ qui compte (il a fait aussi une coquille en oubliant les exposants $n$).
3) Pour montrer qu'une forme bilinéaire $c:\C^n\times\C^n\to \C$ est nulle, il suffit de savoir qu'elle est nulle pour tout couple de vecteurs $(A,B)$ où $A$ et $B$ appartiennent à une partie génératrice $\mathcal{G}$ de $\C^n$. Pour montrer alors que $c(X,Y)=0$ pour tout $(X,Y)\in \C^n\times\C^n$, il suffit d'écrire $X$ et $Y$ comme combinaisons linéaires d'éléments de $\mathcal{G}$ et d'utiliser la bilinéarité.
4) L'argument donné en 1) montre que $\mathbb{T}^n$ (je comprends que tu désignes par $\mathbb{T}$ l'ensemble des nombres complexes de module 1) engendre $\C^n$. Mais en fait il suffit de
$$(1,1,\ldots,1),\ (-1,1,\ldots,1),\ (-1,-1,1,\ldots,1),\ldots,(-1,\ldots,-1,1)$$
pour avoir une base de $\C^n$. -
Je te remercie beaucoup d'avoir détaillé. Ton écrit pédagogique et soigné est vraiment éclairant.
Dereck -
Cher Dereck,
Comme le note justement Ga?, j'ai commis pas mal d'erreurs: c: Cn x Cn -> Cn, c(A,B) = [size=small]T[/size]B.C.A (ou [size=small]T[/size]A.C.B, à toi de vérifier, mais pas les deux, car C n'est pas symétrique).
Mais on a seulement c(A,B) = 0 pour tous les A,B de norme 1 (et non tous les A,B de Cn). Soient alors A /= 0, B /= 0 (les autres cas sont triviaux) arbitraires dans Cn.
On a c(A/llAll,B/llBll) = 0 = [1/llAll.llBll].c(A,B) => c(A,B) = 0.
En fait, le problème est d'ordre pédagogique: sais-tu ce qu'est une application bilinéaire en cet instant t0 ? C'est assez difficile de ne pas commettre de bourde sur le niveau supposé du questionneur!
Les vingt dernières années de mon travail, je n'ai pas travaillé en DEUG (i.e. L1 et L2, si j'ai bien compris). Et je suis un "deb" en matière de phörûm. Mea culpa. -
Salut cher C. de Pluquaire,
Si je puis me permettre, la difficulté principale n'est pas de passer de "pour tous $A,B$ de norme $1$" à "pour tous $A,B$" mais de passer de "pour tous $A,B$ de composantes de module 1" à "pour tous $A,B$".
Il me semble que c'est $^t \! ACB$ mais sur ce genre de trucs on a toujours une chance sur deux de se tromper -
Bonsoir à tout le monde,
Cher egoroffski,
Tu peux te permettre de dire que j'ai encore dit une connerie, c'est autorisé par les tablettes de la loi du phörûm.
Je ne communiquerai plus jamais sur cet exercice qui me sort des yeux! Qu'est-ce que je suis venu faire sur ce fil d'algèbre, alors que je suis un découpeur de epsilon en mille morceaux ?
J'espère que tu ne t'es pas inscrit sur le phorum par simple plaisir de me flinguer ? Sinon, je serais obligé d'expliquer les douloureuses circonstances au cours desquelles Egoroff, un nom ô combien respecté sur ce forum, a cru bon de faire un enfant à Eve Angeli...
Puisque tu sembles chercher un pseudo, je te suggère "Pafnouty", le prénom de Tchebycheff: c'est pas mignon ?
Bien cordialement.
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