Intégrale et produit scalaire

Kniaz · September 2009

Bonjour

Il y a une question d'un pb que je n'arrive pas à faire j'aurais besoin de votre aide.

Soient $E$ un ensemble de fonctions $f,\ \mathcal C^1$ bornées telles que $f(0)=0$
On montre que $\dfrac{f(x)}{x}$ tend vers $f'(0)$ en $0$ ; idem pour $g$. Ca c'est bon.
On montre alors que $\displaystyle \int_0^{\infty} \frac{f(x)g(x)}{x^2} $ est un produit scalaire sur $E$ , c'est bon.
Il faut montrer que ce produit scalaire est égal à
$$\int_0^{\infty}\frac{f'(x)g(x)+f(x)g'(x)}{x}$$
l'indication c'est d'intégrer par partie sur un segment.

C'est ce que je fais : les termes "$uv$" tendent vers $0$ en $0$ je montre que $\dfrac{f'(x)g(x)+f(x)g'(x)}{x}$ est intégrable
Mais je n'arrive pas à le montrer en $\infty$
J'ai pensé à plusieurs trucs comme le théorème des accroissements finis parce qu'il faut majorer $f'$ et $g'$ mais je n'arrive à rien.

Merci d'avance.

[Merci à Jacquot pour la correction du LaTeX.

AD]

girdav · September 2009

Bonjour.
Je crois que l'on peut exprimer $\int_1^{b}\dfrac{f(x)g'(x)+f'(x)g(x)}xdx$ grâce à) l'intégration par parties comme la différence de deux termes qui admettent tous deux une limite en l'infini.

egoroffski · September 2009

Salut,

Si ta première intégrale est convergente, et que la seconde intégrale est égale la première plus un truc qui tend vers zéro, elle est convergente aussi non ?

Kniaz · September 2009

c'est excellent egoroffski ; je fais IPP sur un segment et je passe à la limite des 2 cotés donc ca converge

si quelqu'un d'autre peut confirmer que c'est exact ce serais bien cool

merci

Intégrale et produit scalaire

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