propriété transformée de Fourier

jeandu66
jeandu66
dans Analyse
Bonjour

Nous avons effectué un exercice sur les transformées de Fourier en TD mais je n’ai pas saisi la fin du calcul je pense qu’il doit me manquer une ligne.

Calculer la transformée de Fourier de s(at+b)
On a utilisé la propriété du changement d’échelle et de la translation : on a décomposé le calcul en deux parties s(t+b)=h(t) donc s(t)=S(f)e^(j*2*pi*f*b) et g(t) = h(at) = 1/a H(f/a)
Et on en déduit que s(at+b) = 1/a * e^(j*2*pi*f*b/a) * S(f/a) c’est ici que je ne comprends pas le raisonnement .
Si quelqu’un pouvait m’expliquer en détail l’opération

Merci d’avance
Bonne journée

Réponses

  • egoroffski
    egoroffski
    Salut,

    Si tu ne comprends pas, c'est parce que tu mélanges tout dans tes écritures, en particulier tu mélanges les fonctions du "domaine temporel" avec les fonoctions du "domaine fréquentiel" i.e. tu écris des égalités de la forme $machin(t)=truc(f)$ ce qui est un non-sens.

    Plus précisément :

    - Tu écris "s(t+b)=h(t) donc s(t)=S(f)e^(j*2*pi*f*b)"
    Non ! il faut écrire une égalité entre $H(f)$ et $S(f)$

    - Tu écris "g(t) = h(at) = 1/a H(f/a) "
    Non ! il faut écrire une égalité entre $G(f)$ et $H(f)$.
  • jeandu66
    jeandu66
    C'est vrai je mélange toutes les écritures je n'ai pas encore vraiment compris le principe.

    Je pose une autre question je reviendrais plus tard sur ma question originelle:

    je dois calculer la transformée de fourier du conjugué de s(-t)

    J'ai le résultat mais je ne sais pas comment le présenter j'ai S(f) est ce bien ça ?

    Merci d'avance
  • gerard0
    gerard0
    Bonsoir.

    Il est pratique de donner des noms aux transformées. Par exemple, on notera S la TF de s. Et si on veut utiliser les variables, on les spécialisera. Par exemple t pour s et f (pour fréquence) pour S.
    Donc on cherchera à écrire la TF de s(-t) à partir de S.

    Là où ça devient difficile, c'est quand on cherche la TF de S(t). mais on s'y habitue vite. Et il y a toujours la notation F(s) pour noter la TF de s.

    Donc on écrira des choses du genre :
    Posons g(t) = s(-t) et G = F(g). G(f) = ...= expression où apparaît S et de variable f.

    Cordialement.
  • jeandu66
    jeandu66
    Merci j'ai réussi à retrouver la réponse mais c'est l'exercice du début que je ne comprends pas du tout

    Calculer la transformée de Fourier de s(at+b) comment feriez-vous ?

    Merci d'avance.

    Bonne journée.
  • remarque
    remarque
    On le fait en LaTeX, c'est tout de suite plus compréhensible : si $s$ est une fonction sur $\R$ et $s_1(t)=s(at+b)$, alors

    $$\hat s_1(\xi)=\int_\R e^{-it\xi}s_1(t)\,dt=\int_\R e^{-it\xi}s(at+b)\,dt$$
    (pas de $j$ et de $2\pi$ dans la TF en maths...)

    On fait le changement de variable $u=at+b$, soit $t=\frac{u-b}a$ et $dt=\frac1a du$ :

    $$\hat s_1(\xi)=\frac1a\int_\R e^{-i\frac{u-b}a\xi}s(u)\,du=\frac{e^{i\frac{b\xi}a}}a\int_\R e^{-iu\frac{\xi}a}s(u)\,du=\frac{e^{i\frac{b\xi}a}}a\hat s(\xi/a).$$

    Edit : j'ai implicitement supposé $a>0$.
  • gerard0
    gerard0
    Salut Remarque.

    Je soupçonne que Jean a des formules toutes faites pour les TF et que c'est pour ça que la réponse est donnée dans le TD. Par contre, il n'avait manifestement pas lu son cours, qui donne bien évidemment des méthodes de notation et fait la distinction entre la fonction et sa TF.

    Jean : Pour g(t) = s(at+b), on détermine d'abord la TF de h(t) = s(t+b), puis on en déduit celle de g(t) = h(at). En les notant proprement (pas de = entre s et sa TF). Tu dois avoir les deux formules dans ton cours.

    Cordialement
  • jeandu66
    jeandu66
    Bonjour

    J'avais déjà posé cette question mais je n'ai jamais eu de réponse comme je voulais. Je voudrais calculer la transformée de Fourier de s(at+b) à partir des théorèmes d'échelle et du retard. Si une personne pouvait me donner une réponse claire et précise. Et je connais mon cours.

    Merci d'avance.

    Jean.

    [Inutile d'ouvrir une nouvelle discussion.
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  • gerard0
    gerard0
    Jean,

    en deux mois tu n'as pas réussi à faire le petit calcul que je t'ai indiqué ?
    gérard0 a écrit:
    Pour g(t) = s(at+b), on détermine d'abord la TF de h(t) = s(t+b), puis on en déduit celle de g(t) = h(at). En les notant proprement (pas de = entre s et sa TF). Tu dois avoir les deux formules dans ton cours.
    Alors je vais le faire, mais ce n'est que l'application bête de tes formules.
    Je note $S$ la TF de $s$, $G$ celle de $g$ et $H$ celle de $h$.
    Première formule : si la TF de la fonction $f$ est $F$, celle de $f(t-a)$ est $e^{-2 j \pi \nu a} F(\nu})$ où $\nu$ est la fréquence. Donc celle de $f(t+a)$ est $e^{2 j \pi \nu a} F(\nu})$.
    En appliquant à ton cas, et en notant $f$ la fréquence, la TF de $h$ est $H(f) = e^{2 j \pi f b} S(f})$.

    Deuxième formule : si la TF de la fonction $f$ est $F$, celle de $f(at)$ est $\frac 1 {|a|} F(\frac {\nu} a)$. En appliquant à ton cas, on voit que $G(f) = \frac 1 {|a|} H(\frac {f} a)$.

    Je te laisse terminer...
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