Concavité et continuité

slim
slim
dans Analyse
Bonsoir
Je veux montrer l'uniforme continuité de la fonction racine, en effet c'est fait avec cette majoration mais elle est justifiée souvent pas la concavité et je ne vois pas la justification Merci

La fonction racine carrée est concave, la majoration suivante est donc vérifiée :
$\forall x,y \in \R_+ \quad |\sqrt{x}-\sqrt{y}| \leq \sqrt{|x-y|}$

apparemment ça ne s'affiche pas, bon : pour tout x,y dans R,
|racine carrée(x)- racine carrée(y)<= racine carrée(|x-y|)
Merci

[Ne pas oublier les \$ encadrant l'expression LaTeX. :) AD]

Réponses

  • zephir
    zephir
    On peut supposer, par symétrie que x > y (pour x=y, c'est une trivialité)
    en divisant par x-y, on retrouve la concavité de la fonction racine sous forme de décroissance de la pente de M(x),M(x+h) avec M(x) le point (x,sqrt(x)) quand x augmente.

    Sans concavité, en supposant 0 < x < y en divisant par sqrt(y) et en posant x/y = t > 1, l'inégalité, par élévation au carré devient évidente.

    Désolé, l'affichage n'est pas conforme au message.
  • slim
    slim
    merci mais je comprend pas le 01?
  • zephir
    zephir
    On peut supposer, par symétrie que x > y (pour x = y, c'est une trivialité)
    en divisant par x - y, on retrouve la concavité de la fonction racine sous forme de décroissance de la pente de M(x),M(x+h) avec M(x) le point (x,sqrt(x)) quand x augmente.

    Sans concavité, en supposant 0 < y < x en divisant par sqrt(y) e en posant x/y = t > 1, (l'inégalité, par élévation au carré devient évidente.

    J'espère que l'affichage sera conforme.

    [Les caractères ' < ' et ' > ' doivent être encadrés par des ' ' sous peine d'être pris pour des bannière html, et donc disparaitre ;) AD]
  • slim
    slim
    le message ne l'est pas encore hélas ,
  • slim
    slim
    "Soit f une application continue d'un segment [a,b] de R dans R, a < b.

    On suppose que pour tout t appartenant à [a,b],
    f(t)>=0.

    Montrer que,s'il existe t appartenant à [a,b] tel que f(t)>0, alors on a:
    intégrale de a à b f(t) dt >0.
  • Bruno
    Bruno
    Voyons slim, il manque quelque chose :

    L'application $f$ est continue sur $[a,b]$ et il existe $t \in [a,b[$ tel que $f(t) > 0$ ; par exemple $x \mapsto \sin(x)$ sur $[0,2\,\pi]$. Clairement $\sin\left(\dfrac \pi 2\right) = 1 > 0$ et :$$\int_0^{2\,\pi}\sin(t)dt = 0$$

    Bruno
  • Bruno
    Bruno
    Si l'on ajoute l'hypothèse $f \geq 0$, alors comme $f$ est continue il existe un segment $I$ centré en $t$ tel que $f > 0$ sur $I$ et l'on a :$$\int_a^bf(x)dx \geq \int_If(x)dx > 0$$

    Bruno
  • slim
    slim
    j'ai rectifié bruno emrci mais là c'est bon et il manque rien
  • Bruno
    Bruno
    O.K. Voir mon second message :).

    Bruno
  • slim
    slim
    ok merci beaucoup
  • alekk
    alekk
    la fonction racine carrée est uniformément continue sur $[0;1]$ car continue sur le compact $[0;1]$, et uniformément continue sur $[1;+\infty[$ car à dérivée bornée sur cet intervalle (dérivée bornée entraine Lipschitz qui entraine uniformément continue) : ainsi $\sqrt{\cdot}$ est uniformément continue sur $[0;\infty[$
  • remarque
    remarque
    Pour démontrer la majoration de départ, tu peux noter que la fonction $x\mapsto\sqrt{x+h}-\sqrt x$ est décroissante pour tout $h\ge 0$ fixé. Elle atteint son maximum en $x=0$. Ensuite, tu poses $h=y-x$ pour conclure.
  • slim
    slim
    question hors sujet mais la curiosité est ,ici, une qualité : "Si l'on"

    quel est le rôle du l' j'aurais dit si on ajoute ,est ce à cause des deux voyelles qui se rencontrent?
  • slim
    slim
    merci alekk ,c'est direct et clair mais jveux utiliser la majration qui est suggérée ds l'exo .

    merci remarque mais c'est la valeur absolue de ... donc c'est positif , je vois pas où l'idée mène même si c'est décroissant ça sera positif

    sinon quelq'un a fait l'idée de zéphir, car en en divisant par x-y j'obtiens la concavité certes mais a droite on a racine de |x-y| et non pas |x-y|.

    Merci
  • remarque
    remarque
    Le truc est invariant par échange de $x$ et $y$. Il suffit donc de traiter le cas où $y\ge x$. Si $x\ge y$, tu les échanges et tu récupères les valeurs absolues là où il faut.
  • slim
    slim
    Oui merci remarque je veux dire la pente c'est
    (racine de x-racine de y)/(x-y) or là :

    $ \forall x,y \in \mathbb{R}_+, \quad \vert\sqrt{x}-\sqrt{y}\vert \leq \sqrt{\vert x-y\vert}$ , ce n'est pas identique

    [La case LaTeX. AD]
  • remarque
    remarque
    Ce n'est pas identique à quoi ? Bon, donc la fonction $x\mapsto\sqrt{x+h}-\sqrt x$ est décroissante pour tout $h\ge 0$ fixé, car sa dérivée est négative. Elle atteint son maximum en $x=0$, c'est-à-dire que $\sqrt{x+h}-\sqrt x\le \sqrt h$. Pour $y\ge x$, on prend $h=y-x=|y-x|$ et on obtient ainsi
    $$|\sqrt{y}-\sqrt x|=\sqrt{y}-\sqrt x\le\sqrt{|y-x|}.$$

    Si $y\le x$, alors $x\ge y$ et
    $$|\sqrt{y}-\sqrt x|=\sqrt{x}-\sqrt y\le\sqrt{|x-y|}=\sqrt{|y-x|}$$
    d'après ce qui précède.
  • slim
    slim
    Merci beaucoup remarque, tu fais pas intervenir la concavité en fait .
    ok c'est clair.

    Autre question :

    Soit f fonction continue en 0 et en 1 tel que f(x)=f(x²) ,montrer que f est constante.

    J'ai commencé à chercher une suite U_n tel que (U_n)² =(U_n+1)² mais je vois pas où utiliser la continuité en 0 et 1 .

    merci de me donner des indications ou une autre piste si la mienne est fausse mais je pense c'est faisable avec les suites merci
  • remarque
    remarque
    Ca ne peut pas découler de la concavité (seule) car la concavité n'entraîne pas cette propriété. Par exemple, $f(x)=1-x$ est concave, mais on n'a pas $f(0)-f(1)\le f(1)$.
  • remarque
    remarque
    Pour ton autre question, tu peux considérer des suites telles que $u_{n+1}=u_n^2$ ou bien $u_{n+1}=\sqrt{u_n}$ suivant le choix de la valeur initiale.
  • christophe c
    christophe c
    Tu as oublié de préciser "pour tout x dans [0;1]", non?

    Soit $0<x<1$. La suite définie par $u_0:=x$ et $u(n+1):=\sqrt{u_n}$ pour tout entier $n$ tend vers $1$ et $n\to f(u_n)$ est constante. Il s'ensuit que $f(1)=f(x)$. Je te laisse prouver que $f(x)=f(0)$
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • christophe c
    christophe c
    Sorry remarque... Je voulais me forcer à taper le latex de sqrt, résultat j'ai fait le perroquet
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • slim
    slim
    merci
  • christophe c
    christophe c
    de rien
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • slim
    slim
    Christophe dsl mais je comprends pas ce passage je crois qu'il manque des points.

    "La suite définie par $ u_0:=x$ et $ u(n+1):=\sqrt{u_n}$ pour tout entier $ n$ tend vers $ 1$ et $ n\to f(u_n)$ est constante."

    Sinon,j'ai fait un début de raisonnement mais je n'utilise pas l'hypothèse de continuité en 0 et 1,jcommence par un cas général ,elle est continue en tout point :

    U_n+1=(U_n)²

    U_n -->x, f étant continue on a : f(U_n)-->f(x) et de plus f(U_n)=f(U_n-1)=f((U_n-1)²)=...=f(U_0)
  • gerard0
    gerard0
    Bonjour Slim.

    pour ta question sur la "suite définie par $ u_0:=x \geq 0$ et $ u(n+1):=\sqrt{u_n}$ pour tout entier $ n$", tu peux lui associer la suite définie par $v_n = ln(u_n)$ dont tu montrera qu'elle est géométrique de raison $\frac 1 2$.

    Cordialement
  • gb
    gb
    slim a écrit:
    question hors sujet mais la curiosité est ,ici, une qualité : "Si l'on"

    quel est le rôle du l' j'aurais dit si on ajoute ,est ce à cause des deux voyelles qui se rencontrent

    Le pronom « on » provient étymologiquent du substantif « homme » ; le « l' » est une survivance de l'article : « si l'on = si l'homme ». Il ne subsiste, en français soutenu, que pour éviter l'hiatus entre deux voyelles.

    On a le même phénomène dans : « La fonction, que l'on supposera convexe,... »
  • christophe c
    christophe c
    à slim, l'expression $n\mapsto f(u_n)$ désigne la suite $w$ de terme général $w_n:=f(u_n)$

    EDIT: suite à l'ambiguité signalée par remarque, je modifie et mets une séparation, pour pas confondre la "v" qu'il y avait (j'ai remplacé par w) au dessus et la suite...


    Je te donne une preuve complète.

    Soit $x$ dans l'intervalle, mais qui n'est ni 0; ni 1.
    Soit $u(n+1):=(u(n))^2$ pour tout entier $n$, avec $u(0):=x$
    Soit $v(n+1):=$racine carrée de $v(n)$ pour tout entier $n$, avec $v(0):=x$
    La suite $u$ converge vers $0$
    La suite $v$ converge vers $1$
    La suite des $f(u_n)$ tend, par hypothèse de continuité de $f$ en 0, vers $f(0)$. Or elle est constante de terme général constamment $f(x)$
    Même argument pour la suite des $f(v_n)$.
    Il s'ensuit que $f(0)=f(x)=f(1)$.
    Ceci étant valable pour tout $x$ dans l'intervalle, $f$ est constante sur l'intervalle
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • remarque
    remarque
    Et la même chose marche sur $[1,+\infty[$, puis le résultat s'en déduit immédiatement sur $]-\infty,0[$. Donc, $f$ est constante sur $\R$, finalement.
  • slim
    slim
    merci Gb ton retour fait plaisir et merci pour l'info, merci remarque et merci Christophe

    quelques questions: où utilisez vous f(x)=f(x²)?

    et la convergence vers 0 et 1 ,c'est par construction , par définition plutôt de chaque suite?
  • remarque
    remarque
    Tu utilises l'hypothèse $f(x)=f(x^2)$ pour dire que $f(u_{n+1})=f(u_n)$ pour les deux types de suites. La convergence des suites vient par exemple de leur expression explicite en fonction du premier terme, qui se démontre facilement par récurrence.
  • slim
    slim
    Oui en fait,c'est deux suites constantes car tous les termes de U_n par exemple sont égaux à U_0,n'est ce pas.

    merci ,ceci dit f explicitement c'est x-->x² pr le 1er cas et x-->racine carrée(x) pr le 2ème cas ?

    car je doute de cette expression :$ v_n:=f(u_n)$

    je dirai plutôt v_n+1=f(v_n).Merci
  • remarque
    remarque
    C'est qu'il y a une petite faute de frappe dans le post de Christophe, avec des $v_n$ qui n'ont pas le même sens au début et à la fin. En fait, au début, il y a un $v_n$ défini comme valant $f(u_n)$ (et qui ne sert pas à grand-chose, IMHO), et ensuite il y a un $v(n)$ défini par $v(n+1)=\sqrt{v(n)}$ (car CC n'aime pas les indices). A la fin, il y a un $v_n$ qui revient, mais à comprendre comme $v(n)$.
  • christophe c
    christophe c
    Merci, j'ai modifié en conséquence
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • christophe c
    christophe c
    En fait je répondais à une autre question avant, c'est pour ça (à cause de la notation $n\to blabla(n)$ qui pouvait peut-être troubler)
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • christophe c
    christophe c
    lol, c'est surtout les accolades "_{truc long à écrire}" qui me font peur
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • slim
    slim
    merci beaucoup ,

    *)pour revenir à mon dernier post, on a :

    (U_n+1)=(U_n)² or (U_n)²=((U_n-1)²)²=...=U0 n'est ce pas? d'où la constance de la suite .?

    remarque merci je viens de réaliser ton idée : on utilise comme disait remarque la définition de la suite qui donne f(U_n)=f(U_n-1)² et l'hypothèse qui donne f(U_n-1)²=f(U_n-1)

    puis f(U_n-1)=...=f(U_0) .?n'est ce pas

    **)ceci dit pour V_n,il me semble qu'on utilise pas f(x)=f(x)² juste ,on fait appel à la continuité de f qui en l'occurence ici est la fonction racine.
    V_n+1=racine(V_n)

    bon je crois je sature avec cet exo assez classique mais technique merci et bonne nuit aux survivants

    ***) merci gérard belle alternative aussi avec U_n = racine ... et V_n =log ..,ceci dit ici où fait on appel à l'hypothèse :f(x)=f(x²)

    merci beaucoup et dsl d'insister
  • remarque
    remarque
    Je ne comprends pas ce que tu écris. Comme $u_{n+1}=u_n^2$, alors $f(u_{n+1})=f(u_n^2)=f(u_n)$ et la suite des $f(u_n)$ est constante. La suite des $u_n$ n'est pas constante mais tend vers $0$ quand $x\in {]}0,1[$.
  • slim
    slim
    oui dsl elle tend vers 0 et par continuité en 0 et 1 on peut conclure,

    ceci dit :es tu d'accord avec ça?

    f(U_n)=f(U_n-1)² et l'hypothèse qui donne f(U_n-1)²=f(U_n-1) =....=f(x)

    **) et***)? merci


    jvais plnoger ds le monde des rêves car sinon ça va raisonner "en absurde et en contraposée'
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